微小ダイポールアンテナ(微小電流源)の電界/磁界導出その① ~波動方程式の導出まで~

2022年4月11日 11:56

PDF

その①～④をまとめたPDFは下記URLからダウンロードできます。

導出したい式（ゴール地点）

座標系原点に長さ$${l \textrm{[m]}}$$, 電流値$${I \textrm{[A]}}$$, 電流の向きが $${z}$$ 方向、角周波数$${\omega}$$で交流振動する微小電流源があるとき、電界$${\bm{E}}$$および磁界$${\bm{H}}$$は次の式となる。

$$
\begin{align*}
E_r&=\frac{IlZ_0k_0^2}{2\pi} \left\{ \frac{1}{(k_0r)^2}-\frac{j}{(k_0r)^3} \right\} e^{-jk_0r}\cos \theta \\ \quad \\
E_\theta&=\frac{IlZ_0k_0^2}{4\pi} \left\{ \frac{j}{k_0r}+ \frac{1}{(k_0r)^2}-\frac{j}{(k_0r)^3} \right\} e^{-jk_0r}\sin \theta \\ \quad \\
H_\phi&=\frac{Ilk_0^2}{4\pi} \left\{ \frac{j}{k_0r}+ \frac{1}{(k_0r)^2} \right\} e^{-jk_0r}\sin \theta \\ \quad \\
E_\phi&=H_r=H_\theta=0
\end{align*}
$$

ただし、式中の空間の波動インピーダンス$${Z_{0}}$$および、波数$${k_{0}}$$はそれぞれ以下の式で与えられる

$$
Z_0=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}, \quad k_0=\omega\sqrt{\mu\epsilon}
$$

マクスウェル方程式とポテンシャルの導入

マクスウェル方程式は次の式の通り。

$$
\begin{align*}
&\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial\bm{B}}{\partial t} \\ \quad \\
&\nabla\times\bm{H}=\bm{J}+\frac{\partial\bm{B}}{\partial t} \\ \quad \\
&\nabla\cdot\bm{D}=\rho \\ \quad \\
&\nabla\cdot\bm{B}=0 \\ \quad \\
&ただし、\bm{B}=\mu \bm{H}, \ \bm{D}=\epsilon\bm{E}
\end{align*}
$$

数学的に$${\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})=0}$$が成り立つため、$${\nabla \cdot \bm{B}=0}$$より、ベクトルポテンシャル$${\bm{A}}$$を以下の式のように導入する。

$$
\bm{B}=\nabla\times \bm{A}
$$

上式をファラデー-マクスウェルの式に代入して、

$$
\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\bm{A})
$$

数学的に$${\nabla\times\nabla\phi=\bm{0}}$$が成り立つことから、$${\bm{A}}$$にはスカラー関数の勾配分だけ自由度があるため、任意のスカラーポテンシャルを$${\phi}$$ として電界 $${\bm{E}}$$を表現すると、上式を以下のように変形して、

$$
\begin{align*}
&\nabla\times \left( \bm{E} + \nabla\phi \right)=-\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla\times\bm{A} \right)　より \\ \quad \\
&\rightarrow \qquad \bm{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}-\nabla\phi
\end{align*}
$$

アンペール-マクスウェルの式を、ポテンシャル$${\bm{A}, \phi}$$を用いて変形すると、

$$
\begin{align*}
&\nabla \times \bm{H}=\bm{J}+ \frac{\partial \bm{D}}{\partial t} \\ \quad \\
& \rightarrow \qquad \nabla \times \left( \frac{1}{\mu}\nabla \times \bm{A} \right) = \bm{J}+\frac{\partial}{\partial t}\epsilon \left( -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A}-\nabla \right) \\ \quad \\
& \rightarrow \qquad \frac{1}{\mu} \{ \nabla (\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A} \} = \bm{J} - \frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\epsilon \bm{A} - \frac{\partial}{\partial t}\epsilon\nabla\phi \\ \quad \\
& \rightarrow \qquad \nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A}+\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\mu\epsilon \bm{A}+\frac{\partial}{\partial t}\mu\epsilon\nabla\phi=\mu\bm{J}
\end{align*}
$$

ガウス-マクスウェルの式をポテンシャル$${\bm{A}, \phi}$$で表現すると

$$
\begin{align*}
& \nabla\cdot\bm{D}=\rho \\ \quad \\
& \rightarrow \qquad \nabla \cdot \epsilon \left( -\frac{\partial}{\partial t}\bm{A} -\nabla\phi \right) = \rho \\ \quad \\
& \rightarrow \qquad \nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\bm{A}=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

まとめると、ポテンシャル$${\bm{A}, \phi}$$の導入により次の2式が得られた。

$$
\begin{align*}
&\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A}+\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\mu\epsilon \bm{A}+\frac{\partial}{\partial t}\mu\epsilon\nabla\phi=\mu\bm{J} \\ \quad \\
&\nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\bm{A}=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

波動方程式の導出

より簡単な形とするため、以下のローレンツ条件を導入する。
この式の考察をその③(PDF内のAppendix 1)に記す。

$$
\nabla\cdot\bm{A}+\mu\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\phi=0 \qquad（ローレンツ条件）
$$

この条件の時、下記の波動方程式が導出される。

$$
\begin{align*}
& \nabla^2\bm{A}-\mu\epsilon\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\bm{A}=-\mu\bm{J} \\ \quad \\
& \nabla^2\phi-\mu\epsilon\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}\phi=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

波源が角周波数$${\omega}$$で交流振動する場合、ポテンシャル$${\bm{A}, \phi}$$をフェーザ表示すると、時間微分は$${j\omega}$$となるため、上式は次のように表現される。

$$
\begin{align*}
& \nabla^2\bm{A}+\omega^2\mu\epsilon\bm{A}=-\mu\bm{J} \\ \quad \\
& \nabla^2\phi+\omega^2\mu\epsilon\phi=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

ここで、波動方程式の速度は光速であり、$${c=1/\sqrt{\mu\epsilon}}$$で表されることから、波数$${k_{0}}$$を角周波数$${\omega}$$および光速$${c \textrm{[m/s]}}$$で表すと、

$$
k_0=\frac{\omega}{c}=\omega\sqrt{\mu\epsilon}
$$

波数$${k_{0}}$$を用いると、波動方程式は以下の式となる。

$$
\begin{align*}
& \nabla^2\bm{A}+{k_0}^2\bm{A}=-\mu\bm{J} \\ \quad \\
& \nabla^2\phi+{k_0}^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

まとめ

マクスウェル方程式をベクトルポテンシャル$${\bm{A}}$$とスカラーポテンシャル$${\phi}$$で表し、ローレンツ条件を導入すると、簡易な形の波動方程式が得られる。

（マクスウェル方程式）

（波動方程式）

$$
\begin{align*}
& \nabla^2\bm{A}+{k_0}^2\bm{A}=-\mu\bm{J} \\ \quad \\
& \nabla^2\phi+{k_0}^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon}
\end{align*}
$$

次回（その②）は、ベクトルポテンシャル$${\bm{A}}$$に関する波動方程式の解が、以下の式であることを利用して、微小電流源の電磁界を導出する。

$$
\bm{A}(\bm{r})=\mu\int_V{\bm{J}(\bm{r}')\frac{e^{-jk_0\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}}{4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert} dV'}
$$

波動方程式（非斉次2階微分方程式）の解法はその④(PDF内、Appendix2)を参照のこと。

参考文献

(参考1) 微小電流源からの放射電磁界の導出その1
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/1391937342
(参考2) 微小電流源からの放射電磁界の導出その2
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/1391958282
(参考3) アンテナハンドブック第2章アンテナの基礎
https://www.ieice-hbkb.org/files/04/04gun_02hen_02.pdf
(参考4) ローレンツゲージの意味
https://eman-physics.net/electromag/gauge2.html
(参考5) 放射理論
http://www.wave.ie.niigata-u.ac.jp/yamaguchi/education/waveinformation/%E6%94%BE%E5%B0%84%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
(参考6) 極座標で表したラプラシアンの導出
https://risalc.info/src/polar-coordinate-Laplacian.html
(参考7) グリーンの定理
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensSecondTheorem/
(参考8) 方向微分係数
https://www.kspub.co.jp/download/1565395b.pdf