微小ダイポールアンテナ(微小電流源)の電界/磁界導出 その④ ~波動方程式の解の導出~
その①～④をまとめたPDFは下記URLからダウンロードできます。
目的
その①, ②で微小電流源による電磁界を導出した。
その導出過程において、以下のポテンシャルに関する波動方程式について
$$
\begin{dcases} \nabla^2\bm{A}+{k_0}^2\bm{A}=-\mu\bm{J} \\ \quad \\ \nabla^2\phi+{k_0}^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon} \end{dcases}
$$
ベクトルポテンシャル $${\bm{A}}$$ の波動方程式の解は以下の式として、以降の式を展開していき、最終的に微小電流源による電磁界を導出した。
$$
\bm{A}(\bm{r})=\mu\iiint_V{\bm{J}(\bm{r}')\frac{e^{-jk_0\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}}{4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert} dV'}
$$
本稿では、その波動方程式の解の導出方法を記述する。
導出方法について
グリーンの定理を用いて、以下の非斉次２階微分方程式から、
$$
\nabla^2\bm{A}+{k_0}^2\bm{A}=-\mu\bm{J}
$$
以下の解を導出する過程を説明する。
$$
\bm{A}(\bm{r})=\mu\int_V{\bm{J}(\bm{r}')\frac{e^{-jk_0\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}}{4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert} dV'}
$$
ベクトルの微分方程式は、$${(x, \ y, \ z)}$$や$${(r, \ \theta,\ \phi)}$$などのベクトル成分ごとに分けた場合でも成り立つはずであるから、以下のスカラー微分方程式を代表して解いていく。ただし、$${f}$$はベクトル $${\bm{A}}$$の成分、$${p}$$はベクトル$${\mu\bm{J}}$$の成分を代表する。
$$
\nabla^2f+k^2f=-p
$$
STEP1 斉次2階微分方程式の解(p=0)
非斉次微分方程式を解くために、まずは波源がない場合、すなわち$${p=0}$$の場合の下記の斉次2階微分方程式を解く。
$$
\nabla^2f+k^2f=0
$$
アンテナの放射を考えると、球面状に波が伝搬することが予想されるので、座標系は球面座標系$${(r, \ \theta,\ \phi)}$$とすると、次の式のように展開できる。
（極座標のラプラシアンの導出は参考6を参照のこと）
$$
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( r^2 \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}f+k^2f=0
$$
今回、遠方界$${(r\rightarrow\infin)}$$における電磁界を考えていくことから、上式は次の通り簡略化できる。
$$
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{df}{dr} \right)+k^2f=0
$$
この式を解くために、$${f =\phi /r}$$ とおいて変数変換すると、
$$
\begin{align*}
&\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d}{dr}\frac{\phi}{r} \right)+k^2\frac{\phi}{r} =0 \\ \quad \\
&\rightarrow\quad\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left\{ r^2 \left( \frac{d\phi}{dr}\frac{1}{r}-\frac{\phi}{r^2} \right) \right\}+k^2\frac{\phi}{r}=0 \\ \quad \\
&\rightarrow\quad\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left( \frac{d\phi}{dr}r-\phi \right)+k^2\frac{\phi}{r}=0 \\ \quad \\
&\rightarrow \quad \frac{1}{r^2} \left( \frac{d^2\phi}{dr^2}r+\frac{d\phi}{dr}-\frac{d\phi}{dr} \right) +k^2\frac{\phi}{r}=0 \\ \quad \\
&\rightarrow \quad \frac{1}{r}\frac{d^2\phi}{dr^2}+k^2\frac{\phi}{r}=0\\ \quad \\
&\rightarrow \quad \frac{d^2\phi}{dr^2}+k^2\phi=0
\end{align*}
$$
上式の一般解は$${\phi=C_1e^{-jkr}+C_2e^{jkr}}$$となるので、$${f}$$は以下の通り導出される。
$$
f=C_1\frac{e^{-jkr}}{r}+C_2\frac{e^{jkr}}{r} \qquad\scriptsize{\text{※}C_1, \ C_2\text{は定数}}
$$
今回、アンテナからの放射を考えることから、進行波のみを考えればよい。したがって、波源がない$${(p=0)}$$場合の方程式の解は次式となる。
$$
f=C_1\frac{e^{-jkr}}{r}
$$
STEP2 非斉次2階微分方程式の解(p≠0)
次に、波源がある場合の以下の$${\phi}$$の微分方程式を解く。
※$${\phi}$$は極座標系の要素でなく、スカラー関数として$${\phi}$$をおいています。
$$
\nabla^2\phi+k^2\phi=-p
$$
$${p}$$は波源で位置の関数であるが、簡単のために波源は原点にあるものとする。ここで、斉次2階微分方程式の解の補助関数$${\psi}$$を導入する。
$$
\nabla^2\psi+k^2\psi=0 \quad\rightarrow\quad\psi=\frac{e^{-jkr}}{r}
$$
非斉次微分方程式に$${\psi}$$ をかけて、斉次2階微分方程式に$${\phi}$$ をかけて引き算すると、以下の式となる。
$$
\psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi=-p\psi
$$
ここで、上式を以下の図に示すような閉曲面$${S}$$で囲まれる体積$${V'}$$内で体積積分する。閉曲面$${S}$$は、原点に置いた波源を含み、十分遠方の大きな半径を持つ閉曲面 $${S_{2}}$$ で囲まれた体積の内、原点から$${\bm r}$$の位置にある観測点$${P}$$を取り囲む半径$${a}$$の微小球面 $${S_{1}}$$ を”取り除いた” 体積の閉曲面である。
$$
\int_V{\left( \psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi \right)dV'}=-\int_V{p\psi \ dV'}
$$
ここで左辺のカッコ内について考える。
グリーンの定理（ガウスの発散定理）から、以下の形に持っていきたい。
$$
\iiint_V{\nabla\cdot\bm{A} \ dV'}=\iint_S{\bm{A}\cdot\bm{n} \ dS} \quad\scriptsize\text{（ガウスの発散定理）}
$$
積分内の式を$${\nabla\cdot\bm{A}}$$の形にしたいため、$${ \nabla \cdot (\psi\nabla \phi)}$$ を計算してみる。
$$
\begin{align*}
&\psi\nabla\phi=\left[ \psi\frac{\partial\phi}{\partial x}, \ \psi\frac{\partial\phi}{\partial y}, \ \psi\frac{\partial\phi}{\partial z}\right] \\ \quad \\ &\rightarrow \quad\nabla\cdot(\psi\nabla\phi)=\left[ \frac{\partial}{\partial x}, \ \frac{\partial}{\partial y}, \ \frac{\partial}{\partial z} \right] \begin{bmatrix} \psi\frac{\partial\phi}{\partial x} \\[6pt] \psi\frac{\partial\phi}{\partial y} \\[6pt] \psi\frac{\partial\phi}{\partial z} \end{bmatrix}
\end{align*}
$$
$${x}$$成分に注目すると、
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left( \psi\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)=\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x}+\psi\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}
$$
$${y}$$成分、$${z}$$成分も同様に計算されるため、足し合わせると以下の式となる。
$$
\nabla\cdot (\psi\nabla\phi)=(\nabla\psi)\cdot(\nabla\phi)+\psi\nabla^2\phi
$$
$${ \nabla \cdot ( \phi\nabla \psi)}$$も同様に計算され、以下の式となる。
$$
\nabla\cdot (\phi\nabla\psi)=(\nabla\phi)\cdot(\nabla\psi)+\phi\nabla^2\psi
$$
したがって、導出した2式を引き算すると積分内の式となる。
$$
\nabla\cdot (\psi\nabla\phi)-\nabla\cdot (\phi\nabla\psi)=\psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi
$$
この式およびグリーンの定理を用いて積分を展開すると
$$
\begin{align*}
\iiint_V{(\psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi) \ dV'}&=\iiint_V{\nabla\cdot(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi) \ dV'} \\ \quad \\
&=\iint_S{(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi)\cdot\bm{n} \ dS}
\end{align*}
$$
ここで、勾配ベクトルの向きは法線単位ベクトル$${\bm{n}}$$の向きと等しいことから、$${\bm{n}}$$方向の方向微分係数（Appendix参照）を用いると、以下の式のように変形できる。
$$
\iiint_V{(\psi\nabla^2\phi-\psi\nabla^2\phi) \ dV'}=\iint_S {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS}
$$
閉曲面全体は、2つの面積 $${S_{1}}$$ と $${S_{2}}$$ に分解できるので、それぞれの面の積分を考える。
$$
\iint_{S_1+S_2} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS}=\iint_{S_1} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS}+\iint_{S_2} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS}
$$
ただし、 $${S_{1}}$$ は観測点$${P}$$を取り囲む半径の微小球面、 $${S_{２}}$$は十分遠方の大きな半径をもつ閉曲面である．観測点$${P(\bm{r})}$$の位置では半径$${a}$$の微小閉曲面を見たとき，面の外向き法線方向は$${-\bm{r}}$$方向となるので、右辺第1項は以下の式の通り変形できる。（微小曲面であることから、ほぼ点となり、法線ベクトルとの内積はベクトル$${\bm{r}}$$方向のみ考える。）
$$
\begin{align*}
\iint_{S_1} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS_1}&=\iint_{S_1} {\left[ \frac{e^{-jkr}}{r}\frac{d\phi}{-dr}-\phi\frac{d}{-dr}\left(\frac{e^{-jkr}}{r}\right)\right]dS_1} \\ \quad \\ &=\iint_{S_1} {\left[ -\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{d\phi}{dr}-\phi\left(\frac{e^{-jkr}}{r^2}+jk\frac{e^{-jkr}}{r}\right)\right]dS_1}
\end{align*}
$$
$${a}$$は微小球面の半径のため、$${a\rightarrow 0}$$の極限をとると、$${\phi}$$ は観測点の位置における値で表される。そのとき、上式は$${dS_{1}=4\pi a^2}$$ を用いて、以下の式の通り簡単化できる。（$${a\rightarrow 0}$$のため、面積分は$${r=a}$$時の積分内の式に面積分 $${4\pi a^2}$$ をかけた値となる。）
$$
\displaystyle{\lim_{a \to 0}} \left\{ \left( -\frac{e^{-jka}}{a}\frac{d\phi(\bm{r})}{dr}-\frac{e^{-jka}}{a^2}\phi(\bm{r})-jk\frac{e^{-jka}}{a}\phi(\bm{r}) \right)4\pi a^2 \right\}=-4\pi\phi(\bm{r})
$$
以下の式に立ち返って、式を変形していくと、
$$
\begin{align*}
\iiint_V{(\psi\nabla^2\phi-\psi\nabla^2\phi) \ dV'}&=\iint_{S_1+S_2} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS} \\ \quad \\ &=-4\pi \phi(\bm{r})+\iint_{S_2} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS} \\ \quad \\ &=-\iiint_V{p\psi \ dV'}
\end{align*}
$$
したがって、$${\phi(\bm{r})}$$ は以下の式の通り表すことができる。
$$
\begin{align*}
\phi(\bm{r})&=\frac{1}{4\pi}\iiint_V{p\psi \ dV'}+\frac{1}{4\pi}\iint_{S_2} {\left(\psi\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d\psi}{dn} \right)dS} \\ \quad \\
&=\frac{1}{4\pi}\iiint_V{p(\bm{r})\frac{e^{-jkr}}{r}dV'}+\frac{1}{4\pi}\iint_{S_2} {\left\{{\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d}{dn}\left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)} \right\}dS}
\end{align*}
$$
右辺第1 項は波源そのものによるポテンシャル、第 2 項の面積積分の項
は、境界面に現れる等価 2 次波源によるポテンシャルを表す。
第 2 項が$${0}$$となれば式としてすっきりするので、第 2 項は$${0}$$となる条件
について考える。式の形から$${𝑟}$$が無限大の時$${0}$$となりそうなことが分かる。
すなわち、観測点が波源から十分に遠方にある場合を計算していく。十分に
遠方にあるとき、境界面 $${S_{2}}$$ は半径$${𝑟}$$ の球面と考えることができ、法線ベクトルとベクトル$${\bm{r}}$$の向きは同一となることから、
$$
\frac{d}{dn}=\frac{d}{dr}
$$
$${S_{2}}$$ の積分項は以下の式となる。
$$
\frac{e^{-jkr}}{r}\frac{d\phi}{dn}-\phi\frac{d}{dn}\left( \frac{e^{-jkr}}{r} \right)=\left( \frac{d\phi}{dr}+jk\phi \right)\frac{e^{-jkr}}{r}+\phi\frac{e^{-jkr}}{r^2}
$$
$${dS_{2}=4\pi r^2}$$ であり、また$${\phi}$$は進行波であることから遠方で$${1/r}$$ の形となるはずであるので、上式の第 3 項の面積分は以下式のように$${0}$$となる。
$$
\displaystyle{\lim_{r \to \infin}}{\phi\frac{e^{-jkr}}{r^2}4\pi r^2}=0
$$
また、第 1 項と第 2 項の面積分は
$$
\displaystyle{\lim_{r \to \infin}}{\left( \frac{d\phi}{dr}+jk\phi \right)\frac{e^{-jkr}}{r}4\pi r^2}=\displaystyle{\lim_{r \to \infin}}{\left( \frac{d\phi}{dr}+jk\phi \right)e^{-jkr}\cdot4\pi r}
$$
ここで、以下の式が$${0}$$となれば、$${S_{2}}$$ の面積分は$${0}$$となる。
$$
\displaystyle{\lim_{r \to \infin}}{\left(\frac{d\phi}{dr}+jk\phi\right)r}=0
$$
これが放射条件と呼ばれるものである。この物理的意味は、遠方ではポテ
ンシャルが必ず外向きに伝搬して行かなければならないことを表す。
すなわち、放射条件では$${\phi}$$は以下の式の形になる。
$$
\phi\Rightarrow\frac{e^{-jkr}}{r}
$$
$${\phi}$$が上式となるとき第1 項と第2 項の面積分も$${0}$$となることが分かる。
最後に、放射条件を満たし、すなわち、ポテンシャル$${\phi}$$が進行波であり、
$${S_{2}}$$ の面積分が$${0}$$であるときを考える。
波源が対象とする領域内に存在するとき、その波源の座標を$${\bm{r}'}$$とすると、
波源がある場合のポテンシャル$${\phi(\bm{r})}$$は以下の式となる。
$$
\begin{align*}
\phi(\bm{r})&=\frac{1}{4\pi}\iiint_V{p(\bm{r})\frac{e^{-jkr}}{r}dV'} \\ \quad \\ &\Rightarrow \iiint_V{p(\bm{r}')\frac{e^{-jk_0\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}}{4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}dV'}
\end{align*}
$$
上式をベクトル形式に直して、波源$${p(\bm{r}')}$$を電流源$${\mu\bm{J}(\bm{r}')}$$に置き換え、ポテンシャル$${\phi ( \bm{r}) }$$をベクトルポテンシャル$${\bm{A}(\bm{r})}$$の形にすると、
$$
\bm{A}(\bm{r})=\mu\iiint_V{\bm{J}(\bm{r}')\frac{e^{-jk_0\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert}}{4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}' \rvert} dV'}
$$
以上で、目的の式が導出できた。
（Appendix）方向微分係数について
方向微分係数とは、スカラー場$${\phi}$$ 上のある点$${A}$$ $${(x, \ y, \ z)}$$を始点とする単位法線ベクトル $${\bm{n}}$$ を$${\bm{n}=n_{x}\bm{i}+n_{y}\bm{j}+n_{z}\bm{k}}$$とするとき、変数$${t}$$により位置を変えるベクトル $${\bm{n}}$$ 上の点$${B}$$ $${x+tn_{x}, y+tn_{y}, z+tn_{z}}$$ のスカラー値$${\phi}$$ の変化率を$${0}$$に近づけたものである。式で表すと、
$$
\begin{align*}
\frac{d\phi}{dn}&=\displaystyle{\lim_{t \to 0}{\frac{\phi(x+tn_x, \ y+tn_y, \ z+tn_z)-\phi(x, \ y, \ z)}{t}}} \\ \quad \\ &= \left. {\frac{d}{dt}\phi (x+tn_x, \ y+tn_y, \ z+tn_z)} \right\vert_{t=0}
\end{align*}
$$
多変数関数の合成関数の微分の性質より、
$$
\frac{d\phi}{dt}=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{dz}{dt}
$$
ここで、$${dx=n_{x}dt}$$ で $${y, \ z}$$も同様であることから、
$$
\begin{align*}
\frac{d\phi}{dn}&=\frac{d\phi}{dt}\\ \quad \\&=\frac{\partial\phi}{\partial x}n_x+\frac{\partial\phi}{\partial y}n_y+\frac{\partial\phi}{\partial z}n_z\\ \quad \\ &=\nabla\phi\cdot\bm{n}
\end{align*}
$$
すなわち、方向微分係数は勾配ベクトルと法線単位ベクトルの内積となる。
$$
\frac{d\phi}{dn}=\nabla\phi\cdot\bm{n}
$$
関連記事
参考文献
本稿は主に参考5を参照しました。
(参考1) 微小電流源からの放射電磁界の導出 その1
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/13919373tu42
(参考2) 微小電流源からの放射電磁界の導出 その2
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/1391958282
(参考3) アンテナハンドブック 第2章 アンテナの基礎
https://www.ieice-hbkb.org/files/04/04gun_02hen_02.pdf
(参考4) ローレンツゲージの意味
https://eman-physics.net/electromag/gauge2.html
(参考5) 放射理論
http://www.wave.ie.niigata-u.ac.jp/yamaguchi/education/waveinformation/%E6%94%BE%E5%B0%84%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
(参考6) 極座標 で表したラプラシアンの導出
https://risalc.info/src/polar-coordinate-Laplacian.html
(参考7) グリーンの定理
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensSecondTheorem/
(参考8) 方向微分係数
https://www.kspub.co.jp/download/1565395b.pdf
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