平行曲線を数式を使って考えてみる

こんにちは。和からの数学講師の岡本です。以前「平行曲線」について記事を書きました。

意外と知らない平行曲線のお話｜マスログ

今回は、数式を使ってがっつり考えていきます。

この記事の主な内容
１．平面上の曲線とパラメータ表示
２．平行曲線と曲率
３．コサイン・カーブの平行曲線を計算してみる
４．さいごに

１．平面上の曲線とパラメータ表示

平面に描く曲線でなじみ深いのが、放物線です。そのほかにも、円やサイン・コサインなどの波の曲線もよく見かけます。基本的にxy平面に直線や曲線を描く場合、y=f(x)という関数の情報があればxに1や2、3と数字を入れるだけで、yの値が計算でき、点(x,f(x))がプロットされていきます。つまり、「曲線」とは(x,f(x))のペア全体で表されます。これをもう少し一般化すると「xとyの関係」の情報があれば、平面上に図形が描けるというわけです。そこで、第3の変数tを使って、例えばx(t)=cost,y(t)=sintとしてみます。このとき、点(x(t),y(t))は変数tで支配されており、tの値を動かすと、平面上の点(x(t),y(t))が動きます。

実際にx(t)=cost,y(t)=sintとした場合、上の図のように半径1の円が描かれます。このように、平面上の曲線Cを変数tで統制できるとき、このtを、曲線Cのパラメータといい、x(t)=cost,y(t)=sintのように、x座標とy座標をtを使って表す表示をパラメータ表示といいます。以降はtを「時間」とし、一般のパラメータ表示(x(t),y(t))を扱っていくことにします。

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平行曲線を数式を使って考えてみる｜マスログ

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<文/岡本健太郎>