【入試問題解説#20】桜蔭中学校（2021年/大問1(3)）

こんにちは。
今回は、中学入試や大学入試の問題解説をおこなっていきたいと思います。

第20回の今回も、中学入試問題を取り上げます。

今回、扱う問題は桜蔭中学校の2021年度の入試問題です。

問題

今回、取り上げる問題はこの問題です。

ぜひ、解いてみてください！
目標時間は5分です。

↓↓↓↓↓↓解答・解説↓↓↓↓↓↓

解答

①　96
②　1369
③　10
④　19

解説

①

個人的には、「調べちゃえばよくね？」って思っちゃいます。
問題文に二桁の整数とあるので、99から遡っていきます。

A=99の時。

【99】

　99の約数は、
　　1、3、9、11、33、99
　このうち、1を除くので5個

<99>

　99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
　3 + 9 + 11 + 33 + 99 = 155

よって、割り切れる。

A=98の時。

【98】

　98の約数は、
　　1、2、7、14、49、98
　このうち、1を除くので5個

<98>

　99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
　2 + 7 + 14 + 49 + 98= 170

よって、割り切れる。

A=97の時。

【97】

　97の約数は、
　　1、97
　このうち、1を除くので1個

<97>

約数が1個であるため、どんな数であれ割れる。

A=96の時。

【96】

　96の約数は、
　　1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96
　このうち、1を除くので11個

<96>

　99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
　2+ 3+ 4+ 6 + 8 + 12 + 16 + 24 +32 + 48 +96 = 251

よって、割り切れない。

より、答えは96

答え：96

②

【B】＝２
　より、1を含めるとBの約数の個数は奇数個なのでBは平方数。

B ＝ b × bとする。
　<B>= b × b + b =1406

このようになるbを求めると、b=37
より、求めるのはb × bなので、1369

答え：1369

③

約数の個数は累乗数+1である。

例えば、4であれば、2 × 2であり、「2の二乗」である。
このような数の約数の個数は2 + 1=3こである。

このことを踏まえると、2の10乗であるので、10+1 =11

答え：11個としたいところですが、1を除くので10こ

答え：10こ

④

【D】＝3ということは、求める数Dの約数の個数は4個。

1~60までの数のうち、素数と並行数（＝約数が奇数個）を除くと以下の数が残る。

6、8、10、12、14、15、18、20、21、22、24、26、27、28、30、32、33、34、35、38、39、40、42、44、45、46、48、50、51、52、54、55、56、57、58、60

この後は、約数の個数ごとに比べたいが、③のところに書いた約数の個数の求め方を活用すれば、求める数は「素数×素数」の形であると言える。

6 ＝ 2 × 3
8 ＝ 2 × 2 × 2
10 ＝ 2 × 5
12 ＝ 2 × 2 × 3
14 ＝ 2 × 7
15 ＝ 3 × 5
18 ＝ 2 × 3 × 3
20 ＝ 2 × 2 × 5
21 ＝ 3 × 7
22 ＝ 2 × 11
24 ＝ 2 × 2 × 2 × 3
26 ＝ 2 × 13
27 ＝ 3 × 3 × 3
28 ＝ 2 × 2 × 7
30 ＝ 2 × 3 × 5
32 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 2
33 ＝ 3 × 11
34 ＝ 2 × 17
35 ＝ 5 × 7
38 ＝ 2 × 19
40 ＝ 2 × 2 × 2 × 5
42 ＝ 2 × 3 × 7
44 ＝ 2 × 2 × 11
45 ＝ 3 × 3 × 5
46 ＝ 2 × 23
48 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3
50 ＝ 2 × 5 × 5
51 ＝ 3 × 17 
52 ＝ 2 × 2 × 13
54 ＝ 2 × 3 × 3 × 3
55 ＝ 5 × 11
56 ＝ 2 × 2 × 2 × 7
57 ＝ 3 × 19
58 ＝ 2 × 29
60 ＝ 2 × 2 × 3 × 5

太線にしたものが解答です。

19こ

まとめ

いかがだったでしょうか。
今回は、桜蔭中学校の問題を取り上げました。
芝中学校は超難関校ですが、この問題は最初の大問でありながら、しっかりと考えさせる問題でした。問題文に書いてある規則を守って自分で考察すること、手を動かすことが求められます。
　
今後も取り上げてほしい問題があれば、コメントにてお伝えください。

最後に

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