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【入試問題解説#20】桜蔭中学校(2021年/大問1(3))
こんにちは。
今回は、中学入試や大学入試の問題解説をおこなっていきたいと思います。
第20回の今回も、中学入試問題を取り上げます。
今回、扱う問題は桜蔭中学校の2021年度の入試問題です。
問題
今回、取り上げる問題はこの問題です。
![](https://assets.st-note.com/img/1674311010207-Nx3VMLDLft.png?width=1200)
ぜひ、解いてみてください!
目標時間は5分です。
↓↓↓↓↓↓解答・解説↓↓↓↓↓↓
解答
① 96
② 1369
③ 10
④ 19
解説
①
![](https://assets.st-note.com/img/1674311099431-X10QOLzCP5.png?width=1200)
個人的には、「調べちゃえばよくね?」って思っちゃいます。
問題文に二桁の整数とあるので、99から遡っていきます。
A=99の時。
【99】
99の約数は、
1、3、9、11、33、99
このうち、1を除くので5個
<99>
99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
3 + 9 + 11 + 33 + 99 = 155
よって、割り切れる。
A=98の時。
【98】
98の約数は、
1、2、7、14、49、98
このうち、1を除くので5個
<98>
99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
2 + 7 + 14 + 49 + 98= 170
よって、割り切れる。
A=97の時。
【97】
97の約数は、
1、97
このうち、1を除くので1個
<97>
約数が1個であるため、どんな数であれ割れる。
A=96の時。
【96】
96の約数は、
1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96
このうち、1を除くので11個
<96>
99の約数は上で挙げたもの。
つまり、
2+ 3+ 4+ 6 + 8 + 12 + 16 + 24 +32 + 48 +96 = 251
よって、割り切れない。
より、答えは96
答え:96
②
![](https://assets.st-note.com/img/1674311781013-FZWEXZr7PZ.png?width=1200)
【B】=2
より、1を含めるとBの約数の個数は奇数個なのでBは平方数。
B = b × bとする。
<B>= b × b + b =1406
このようになるbを求めると、b=37
より、求めるのはb × bなので、1369
答え:1369
③
![](https://assets.st-note.com/img/1674312001628-bfG50OHadP.png?width=1200)
約数の個数は累乗数+1である。
例えば、4であれば、2 × 2であり、「2の二乗」である。
このような数の約数の個数は2 + 1=3こである。
このことを踏まえると、2の10乗であるので、10+1 =11
答え:11個としたいところですが、1を除くので10こ
答え:10こ
④
![](https://assets.st-note.com/img/1674312165941-8lDfBcbXp0.png?width=1200)
【D】=3ということは、求める数Dの約数の個数は4個。
1~60までの数のうち、素数と並行数(=約数が奇数個)を除くと以下の数が残る。
6、8、10、12、14、15、18、20、21、22、24、26、27、28、30、32、33、34、35、38、39、40、42、44、45、46、48、50、51、52、54、55、56、57、58、60
この後は、約数の個数ごとに比べたいが、③のところに書いた約数の個数の求め方を活用すれば、求める数は「素数×素数」の形であると言える。
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
10 = 2 × 5
12 = 2 × 2 × 3
14 = 2 × 7
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
20 = 2 × 2 × 5
21 = 3 × 7
22 = 2 × 11
24 = 2 × 2 × 2 × 3
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7
30 = 2 × 3 × 5
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
33 = 3 × 11
34 = 2 × 17
35 = 5 × 7
38 = 2 × 19
40 = 2 × 2 × 2 × 5
42 = 2 × 3 × 7
44 = 2 × 2 × 11
45 = 3 × 3 × 5
46 = 2 × 23
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
50 = 2 × 5 × 5
51 = 3 × 17
52 = 2 × 2 × 13
54 = 2 × 3 × 3 × 3
55 = 5 × 11
56 = 2 × 2 × 2 × 7
57 = 3 × 19
58 = 2 × 29
60 = 2 × 2 × 3 × 5
太線にしたものが解答です。
19こ
まとめ
いかがだったでしょうか。
今回は、桜蔭中学校の問題を取り上げました。
芝中学校は超難関校ですが、この問題は最初の大問でありながら、しっかりと考えさせる問題でした。問題文に書いてある規則を守って自分で考察すること、手を動かすことが求められます。
今後も取り上げてほしい問題があれば、コメントにてお伝えください。
最後に
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