数学は論理的な言語化 ~数学苦手の数学講座①
文章を書くまでに学んだこと
文章を書くというのはそれこそ小学生の頃くらいからずっとやってきましたが、文章を書く前にいろいろ学んできました。
具体的にはまず文字を学びました。ひらがなを習い、カタカナを覚え、ようやくつたない文章が書けるようになります。
漢字を覚えたり、様々な文章を読んで表現や概念をいろいろ学んで徐々に深い内容の文章を書けるようになります。
つまり言葉や文字を覚えて使い方を学ばなければ私たちは文章を書けなかったわけです。なので大人になっても文章書くのを精進するのは役に立つのでしょうね。
算数や数学を学ぶのは文章を読んだり書いたりすることに似ている
小学校の時、算数って数字や数字の書き方から勉強したと思います。そして足し算の式の書き方を習ったと思いますが、これって前節で書きましたが、ひらがなやカタカナを覚えて使い拙い文章を書けるようになったのと似ています。『漢字を覚えたり、様々な文章を読んで表現や概念をいろいろ学んで徐々に深い内容の文章を書けるようになります。』と書きましたが、それ対比されるように数学で文字式や方程式を習います。やはり数学でも概念や新しい言葉や表現を学びます。
別アプローチで数学が言語に似ていることを書いた記事があるのでぜひ読んでみてください。あくまで言語ならほかの言語に翻訳できるというところまで書くのが目標でしたが、言語学はそこまで詳しくないので数学と言語の統一した話ができなかったので、いったん数式は言葉編(1)、(2)で終わってます。
高校生までの数学は大体ここまで終わってしまいます。ちょっともったいない気もしますが、数学は覚えた言葉を駆使して文を作成したり、人の書いた文章を読む解くというのは数学では難しいですからしょうがないですね。なぜ難しいかはもう少し後で説明します。
次の段落のために少し踏み込んで書きますが、自分の考えたことを覚えた言葉を駆使して文を作成したり、人の書いた文章を読む解いていろいろ考えるのって所謂『言語活動』ですよね。私は多分最終的に数学をやるというのは広い意味での『言語活動』ではないか、それこそビジネス文書とかを書いたり、読んだりするのも含めるという意味での概念って何て言ったらいいかわからないので二重括弧付きの言語活動、『言語活動』とこのシリーズでは言うことにします。
文法があるのも同じ
国語では小学校の高学年か中学校で五段活用などの活用、主語・述語などの文構造、倒置法や比喩などの修辞技法といった文法を学んでいきます。文法を習うことでより文章の定石ができ、また奥深く情報を詰め込んだ文章が書くことが出きます。この辺はもう少し言語学を勉強してもう一度記事を書きたいです。
数学にも似たようなものがあって、主語・述語に対応する述語論理というもので、主語・述語をもつような文、命題が作れます。
$${2\times3=6}$$
を面積にして
上のように表現できます。つまり、式を図形という形で表現し替えられる、つまり比喩や言い換えのようなことができます。まあこれは一般的な感覚とは違うようなので、私独自の感覚かもしれませんが。もっと言うと図形を座標に乗っけて代数的に考えるようになるのも私的には同じような感じです。
述語論理はもちろんのこと命題論理からモデル理論まで履修すると大分いろんなことが表現できるようになります。いきなり難しい本を読んでも難しいので学部、つまり大学生レベルの内容から入る方がいいでしょう。
上で紹介している学部レベルの教科書を読んで大体学部レベルの集合論と数理論理学が理解できるようになったら、ぜひ以下にチャレンジしてほしいです。キューネンの書いたものは数学とプログラミングの関連を書いているので、私のようにプログラマの仕事から数学に興味を持った人間にとっては痒いところ手が届く感覚が得られて好きです。
キューネンの『集合論』、『数学基礎論』の翻訳版が現状2024/06/21時点で売り切れているようなので、下に英語版を載せておきます。
次回予告
ちょっとまだ勉強中なので、少し後になるけれど、次は圏論です。圏論もまた数学が『言語活動』だと教えてくれる分野です。まあ通常の意味での『言語活動』ではなくて、最近話題のビジュアルシンカーっぽい意味ですが。なんか変だけど数学をやっていると図形も言葉に見えてきます。そんな言語のように図形を感じる世界を次回は目指したいです。
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