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【2022は楔数】素数を素早く見抜くコツと倍数のセンス
A Happy New Year!
I look forward to continuing goodwill this year.
Let's have a good year!
明けましておめでとうございます🎍
本年もよろしくお願いします🙇♀️
※英語表現は英語部・Study部にょろさんに教わりました…。
☆2022を素因数分解してみよう
早速ですが問題です。
🐯2022を素因数分解すると?
まず、2で割れることにはすぐ気づきますね。
そうすると
2022 = 2 × 1011
さて、1011は素数?
それともまだ何かで割れる?
これは実は、3秒くらいで即答できないとダメです。
ぜひ、続きをご覧ください。受験生必読!
(もちろん大人の方も!)
![](https://assets.st-note.com/img/1641182711272-phUjbxkVuu.jpg?width=1200)
☆倍数のセンスは重要!
ある数が何の倍数かを見分ける(=約数をみつける)技術は、算数・数学において非常に重要です。
以下、身につけておきたい倍数のセンスをまとめておきます。
🌸2の倍数(偶数)
これは簡単です。1の位だけ見ればいいです。1の位が偶数であれば、その数自体も偶数です。2022は1の位が偶数ですから、2022も偶数です。
🌸3の倍数(超重要!)
各位の数の和が3で割れれば、その数も3で割れる!
これは重要知識ですよ。
1011の各位の和を求めてみましょう。
1+0+1+1=3
ですから、1011は3で割れるのです!
⚠️この裏技が使えるのは、実用的な範囲では3の倍数と9の倍数だけです。どの数でも成り立つわけではありませんので気をつけてください。
数学が得意な方や難関校を受ける方は、なぜこの方法で3の倍数がわかるのか、文字を使って証明してみるととても勉強になります。
🌸4の倍数
下2ケタだけ見てください。下2ケタが4で割れれば、その数自体も4で割れます。
例えば、2020は、20が4で割れますから2020も4で割れます。
🌸5の倍数
これも簡単。1の位が0か5であれば、その数は5の倍数です。
🌸6の倍数
ここはちょっと重要ですので注意してご覧ください。
6の倍数を見分けるには、6=2×3であることを利用します。
つまり、2の倍数でも3の倍数でもあれば、その数は6の倍数なのです。
例えば2028を考えてみます。1の位が偶数ですから2の倍数です。
そして、2+0+2+8=12ですから、3の倍数でもあります。
ということは、6の倍数でもあるということになります。
確かめてみましょう。2028÷6=338 割り切れました!
🌸8の倍数
下3ケタが8で割れるかを調べてください。
例えば、2200は下3ケタの200が8で割れますから、2200も8で割れます。
2200÷8=275ですね。
🌸9の倍数
3の倍数と同じ手法が使えます。
4167の各位の数字の和を考えてみると、4+1+6+7=18となり、18は9の倍数ですから4167は9で割れます。
4167÷9=463です。
🍃おまけ
このくらい知っておけば十分ですが、もう少しだけ補足します。
🌸10の倍数は、1の位が0かどうかを見るだけです。
🌸7の倍数、11の倍数、13の倍数は知ってないとなかなか気づきにくいので、一度調べておくとよいですよ。7、14、21…という感じで200くらいまでやっておくとよいです。
例えば、
147=7×7×3
209=11×19
91=7×13
143=11×13
あたり、パッと思いつけると算数・数学はかなり有利ですよ。
ちなみに、
🌸1001=7×11×13
というのも知っておくと役立つかもしれません。
☆続・2022を素因数分解してみよう
ということで、1011は3で割れることがわかったので、
2022 = 2 × 3 × 337
では、337は素数なのでしょうか?
それともまだ何かで割れるのでしょうか?
…これも、ちゃんと判断できる必要があります。
以下、順を追ってご説明しましょう。
☆100までの素数の探し方
倍数のセンスがマスターできたことを前提として、入試までに一度、100までの素数を実際に求めておくと理解が深まります。一瞬でできます。
まず、以下のような100までの表を用意してください。
(エクセルを使えばすぐ作れますが、この画像をプリントアウトしても結構です)
![](https://assets.st-note.com/img/1641180746986-AAtjkxb1dR.png?width=1200)
では、実際にやってみてくださいね。
🐣Step1 1は素数ではないのでバツで消します。
⚠️意外と間違えて1を素数だと思っている人が多いので注意!
🐣Step2 2・3・5・7は素数なので〇をつけて残します。
🐣Step3 2以外の2の倍数(偶数)は素数ではありません。
すべてバツで消していってください。(縦に線を引いてしまうと早いです)
🐣Step4 5以外の5の倍数(偶数)は素数ではありません。
すべてバツで消していってください。
10の倍数は既にStep3で消えていますので、実際には15以下を縦に線引けばOKです。
ここまでは簡単だと思いますが、ここから先は間違えないように注意深くやっていく必要があります。
🐣Step5 3以外の3の倍数も素数ではありません。
すべてバツで消していってください。
🐣Step6 最後に、7以外の7の倍数をすべてバツで消していってください。
…といっても、既にほとんど消えているので、実際にこのステップで消すべきものは多くはないです(2つしかなかったハズです…)。
間違えないように慎重に…。
以上で終了です。
現時点で、バツで消されてないものはすべて素数です。
念のため、答え合わせをしておきましょう。
🐣「2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97」
以上、25個あれば正解です!正解者に拍手!👏
実際に手を動かしてやってみることが重要ですので、必ず自分でやってみてくださいね。
この方法は「エラトステネスの篩(ふるい)」と言われる方法の簡易版です。
エラトステネスは古代ギリシア人の学者で、「エラトステネスの篩」の他、当時(紀元前240年ころ)としてはかなり正確に地球の大きさを求めたことでも知られています。詳しいことは高校の「地学」で習うと思います。お楽しみに!😊
素数判定の方法としては、エラトステネスの篩を改良した「サンダラムの篩」も知られています。興味のある方は(入試が終わったら)ググってみてください。
☆ある数が素数かそうでないか調べるには?
では、ここから先がいよいよ重要です。
ちょっと応用問題です。
🐯上の作業で、「どうして7の倍数を消すだけで作業をやめていいのか?11の倍数は消さなくていいのか?」と疑問に思いませんか?
実はちゃんと理由があります。この理由をきちんと理解しておくことが、ある数が素数かそうでないか調べる上でとても重要になってきます。ぜひ理解してください。
「素数かどうか」を調べるということは、「1とその数以外に約数はあるか」を調べることに他なりません。これはいいですね。
で、仮に1とその数以外に約数があるとするならば、その約数のうちの一つは、必ず「その数の平方根」よりも小さいはずなんです。
なぜなら、平方根を2回かければその数になるのですから、平方根よりも小さい約数が存在しなければ、掛け算したらその数自身を超えてしまいます。
今回は、100までの素数を探しました。
100の平方根(のうち、正のもの。ルート100)は10です。
ですから、100の平方根である10より小さい素数の倍数だけを消していけば足り、11の倍数のことは気にしなくていいというわけです。
…難しかったですか?でも重要な考え方なので、必ず理解しておいてください。
一般に、ある数が素数かどうかを調べるためには、その数の平方根未満の素数で割り切れるかどうかだけを調べればよいのです。
☆337の平方根はおよそいくつ?
こういう見当がつけられるセンスも重要ですよ。
18の2乗が324、19の2乗が361ですから、18と19の間ですね。
(平方根はExcelのSQRT関数を使えば簡単に求まります。より正確な値は18.3575…です。)
ですから、18未満の素数、「2, 3, 5, 7, 11, 13, 17」で割ってみて、どれでも割れなければ337は素数だということになります。
やってみると、どれでも割ることはできません。
つまり、337は素数だったのです。
従って、2022を素因数分解せよ、と言われたら
✅2022 = 2 × 3 × 337
が解答となります!
長い道のりでしたね!
西暦に|因《ちな 》んだ問題は、定期テストや入試で意外と出題されます。
例えば、こんな問題が出てもビビらないように準備しておきましょう!
![](https://assets.st-note.com/img/1641182408423-OX9zr4h224.png)
もちろん、2022に通分するだけです。知らないと気づきにくい?
ちなみに正解は331/2022。
これまでの内容がちゃんと理解できていれば、西暦以外のどんな数字が出題されても素数かどうかを判断できる(=素因数分解ができる)のです!✨
☆楔数(くさびすう)
2022のように、異なる素数を3つかけてできる数のことを「楔数」といいます。
ですから、今年は楔数の年です!
ちなみに、素数を2つかけてできる数は「半素数」といいます。
2021=43×47
ですので、昨年は半素数の年だったんですよ。
ちゃんと意識してましたか?
☆暗号と素数
素数はRSA暗号と呼ばれる暗号の作成に用いられており、このIT時代にセキュリティを考察する上でかなり重要な概念となっています。そのため、入試などでもよく取り上げられる題材です。
ここではものすごくざっくり解説すると、例えば2つの素数89と97を掛け算して8633を得ることは容易です。でも、8633を見て、それが89と97の積であると気づく(素因数分解する)のはめっちゃ難しいですよね。
半素数としてご紹介した2021も、知っていないと43と47の積であるとはなかなか気づきにくいでしょ?
素数のこの性質を利用すると、作成するのは容易だけれども解くのは難しい暗号を作れるのです。数学って凄い!✨
☆おわりに 素数のように私は生きたい
唐突ですが、私は素数が大好きです。
1と自分自身でしか割れない、って生き方としてカッコよくないですか笑💦😝
1で割っても、実際には何もしてないのと一緒ですから、つまり自分自身でしか割れないということですよ。
私は他の人の言いなりにはならない、自分の信念に基づいて生きていく、みたいなものを素数から感じ取るのは私だけでしょうか。
ちなみに、化学でいったら「自由電子」みたいな生き方が好きなのですが、これはまた別の機会に💦😝
最後までお読みいただきありがとうございました🙇♀️
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受験生の皆さんは、無理せず自分を信じて頑張ってください!
空気を読むな、本を読め!またねー!💕
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