３点を通る円はただ１つに決まる？🍎垂直二等分線の不思議

作図だ！
…というわけで、今日は中１の今ごろに学習するであろう、垂直二等分線や垂線の作図について語ってみます。中２以上の方や、そして大人の方にもぜひ読んでいただきたいです。
なお、この記事で用いている図はすべて「遊ぶ数学」というサイトより引用させていただきました🙇‍♀️

☆垂直二等分線とは？

ある線分を垂直に２等分する直線のことを「垂直二等分線」といいます。
なんともそのまんまなネーミングです💦

🐣＜用語の確認＞🐣
✅理論上はどこまでも永遠に続くのが…「直線」
✅両端が決まっているのが…「線分」
✅片方の端のみ永遠に続くのが…「半直線」

線分の両端からコンパスで同じ半径の円（の一部）を描き、その２交点を結んだ直線が垂直二等分線になります（下図）。

⚠️①と②は同じ半径の円でないといけません。途中でコンパスの大きさを変えてしまわないように注意しましょう。
⚠️なぜこの方法で垂直二等分線が引けるのか？
を説明するには中２の知識が必要です。逆に中２以上の方は説明できないといけません(高校入試の範囲です)。この記事では説明は割愛します。ヒントとしては、ひし形（平行四辺形）の性質や三角形の合同条件などの知識を駆使します。

垂直二等分線の性質

線分ABの垂直二等分線は、２点A，Bからの距離が等しい点の集合となっています。
換言すれば、線分AB上にある任意の点Pに対して、常に

PA＝PB

が成り立ちます。このことは極めて重要ですので必ず覚えておきましょう。

では、応用問題をいくつかやってみましょう。

問題１　中点を求める

線分 AB の中点Mを作図によって求めよ。

…簡単ですね。垂直二等分線を引いて、線分ABと交わる点が中点Mとなります。

「４等分せよ」みたいな問題もよく出ます。
２等分を２回（３回）やれば４等分できます。大丈夫ですね？

問題２　ある点を通る垂線

点 C を通り、線分 AB に垂直な直線を作図せよ。

…いかがですか？
単純に線分ABの垂直二等分線を描いてしまうと、点Cを通りません。
ちょっと難しいですか？
正解は…これだー！

点Cから適当な大きさの円（の一部）を描きます（図の①）。
描いた円と線分ABとの２つの交点ができたら、それらの交点を中心として同じ大きさの半径の円（の一部）を描いてください。（図の②と③）。
最後に、点Cと今描いた２つの円の交点（図のD）を通る直線を引きます。
これが求める垂線になります！

⚠️②と③は同じ円の大きさでないといけません！コンパスの大きさを途中で変えないこと！（①と②・③は違っていてもOKですが心配な方は３つとも同じにしておきましょう）
⚠️図に青く描かれたひし形は説明のためのものなので試験では描く必要はありません。（厳密に言えばひし形である必要はないですが説明は割愛）

本問では点Cは線分ABより上にありましたが、点Cが線分AB上に存在しているバージョンもよく出題されます。やり方は一緒です。

問題３　三角形の高さの作図

底辺をBCとしたときの高さAHを作図によって求めよ。

問題２とほぼ同じですね。
BCの延長線を引いて、点Aから垂線を引けば事件は解決です。
こんな感じ。

余談ですが、三角形の底辺と高さはどっちがどっちでも構いません。
普通はBCを底辺、AHを高さと考えるでしょうが、図を横にすればAHが底辺になってBCが高さになりますよね。
かけ算は逆にかけても同じ答えになりますので、面積を求めるときもどっちが高さでどっちが底辺でもOKです。
⚠️一部の小学校教員はかけ算の順番にこだわってるみたいですが、はっきりいって数学ができない人間、かつ自分と異なる他を尊重できない人間の発想です。

…閑話休題。
意識してほしいことは、「底辺と高さは垂直になってないといけない」ということです。
特に中２以上で、座標平面上の三角形の面積を求める際にこの感覚が重要になってきます。
垂直じゃない２辺をかけ算しちゃう生徒さんがよく出てきてしまうので、今からしっかり意識しておいてください。

では、本日最後の問題です。

問題４　３点を通る円

３点 A，B，C を通る円を作図せよ。

さあどうでしょう。
…誰だ、適当にコンパスをあてて無理やり描こうとしてるのは😝

作図も数学、論理的にいきましょう。
描くべき円の中心をOとすると、OA＝OB＝OCとなるはずですよね。
なぜなら、すべて円の半径になるからです。
つまり、AからもBからもCからも距離が等しい点Oを見つけ出せば事件は解決です。

…ここで、前半にご紹介した「垂直二等分線の性質」を思い出しましょう。
再掲します。

【垂直二等分線の性質】
線分ABの垂直二等分線は、２点A，Bからの距離が等しい点の集合となっている。つまり、線分AB上にある任意の点Pに対して、常に

PA＝PB

が成り立つ。

…もうわかりましたね？
正解は…これだー！

２点A，Bの垂直二等分線上の点は、AとBから等距離にあります。
そして２点A，Cの垂直二等分線上の点は、AとCから等距離にあります。

…ということは、２つの垂直二等分線が交わるところは、AからもBからもCからも等しくなるわけで、そこが円の中心Oになるというわけです。

問題としては垂直二等分線は２本だけ引けばよいですが、試しにBCの垂直二等分線も描いてみて、３本とも点Oを通ることを確認しておいてください。

このように、ある三角形の外側に描ける円のことを「外接円」といい、外接円の中心は３辺の垂直二等分線の交点になっています。
また、同一直線上にない任意の３点を決めれば、３点を通る円はただ一つに定まります。
外接円について詳しいことは高校で習います。余裕があったら今のうちに覚えておくとこの先で役に立ちますよ。
同じ時期（中１ラスト）に学習する理科の「地震」の単元では、似たような方法で地震の震源・震央を作図することになります。

☆おわりに

本当はこの記事で「角の二等分線」もやってしまおうと思いましたが、長くなってしまったので角の二等分線は次の記事にします。
お楽しみに！

とにかく言いたいことは、「丸暗記ですますな」ということです。
中２の知識が必要なこともあるので今は覚えるしかない部分もありますが、数学（だけではないですが）は作図だろうと何だろうと丸暗記ですますことなく、納得できるまで自分の頭で考えることが最も大切です。
「よくわかんないけど覚えちゃえ」という態度だと結局すぐ忘れちゃって覚えられないし、何より勉強がつまらなくなってしまいます。

問題４の、３つの点だけで円が１つに決まる話とかめっちゃ興奮するくらいおもしろいと思うのですが…皆さんはどうでしょうか？

最後までお読みいただき真にありがとうございました🙇‍♀️
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（『お任せ！数学屋さん』第１巻、神之内宙（じんのうちそら）くんのセリフより）

([む]2-1)お任せ! 数学屋さん (ポプラ文庫 日本文学)

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🌸🍃この記事の執筆者、Mathematics Partnerは、コペル＆アヤでした🐣

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（なっちゃんに作ってもらった画像です）

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