連続体力学に基づいた物理計算の話 -6-

物理学では「質点」と「剛体」と「連続体」という３種類の物体の扱い方が存在します。

特に、連続体は物体の質量、運動（並進と回転）、そして形状変化（変形）を考慮します。質点や剛体はより扱い方を簡略化した存在と言えます。

こうした物体の変形を扱う学問として「連続体力学」があります。連続体力学は固体だけでなく、流体の分野にも適用可能な古典的学問でもあります。

前回は変形の記述において必要な、物質点の状態量「変位・速度・加速度」の扱い方を見てみました。また、変形問題における「力」と「状態」のそれぞれに関する規則にも言及しました。

今回は本格的に変形の記述（手順）について深掘りします。重要な指標として「変形勾配テンソル」がありますが、２階テンソルなので行列表現も可能です。その背景情報を主に見ていきます。

変形勾配テンソルの意味

連続体の変形問題は、ある２点の運動を取り出して、相対的な位置関係の変化を考える必要があります。すなわち、基準配置から現在配置にかけて、両者の２箇所の物質点（位置）の差を比較することを意味します。

物質点Ｘ近傍の微分形式（ベクトル）は、連続体の運動を介して物質点ｘ近傍の微分形式（ベクトル）に変換されることを表します。この変換作用素がＸ近傍の変形を直接反映しているのです。

ここで書いている「微分形式」とは、各配置の２箇所の物質点（位置）の差分を意味します（微小量である前提を設けています）。

これらを基底で表現すると、変換作用素は運動の物質座標Ｘによる偏導関数という形で「変形勾配テンソル」と呼ばれる２階テンソルとなります。

これは、基準配置を参照する微分形式（ベクトル）を現在配置を参照する微分形式（ベクトル）に線形変換することを意味します。

変形勾配テンソルは２階テンソルなので、行列表現が可能です。変形勾配テンソルの行列式は「ヤコビアン」と呼ばれており、変形前後（基準配置から現在配置の時間的区間）の体積変化の比率を表します。

変形勾配テンソルの極分解

変形勾配テンソルの理解を深めるために、変形が存在しない場合（剛体運動）を考えます。物体の剛体運動は基本的に「並進」と「回転」で成立します。

物質座標Ｘの変換作用素として回転テンソルＲを用います。基準配置を参照する微分形式（ベクトル）を現在配置を参照する微分形式（ベクトル）に変換可能な直交テンソルです。

連続体の変形は回転テンソルＲに加えて、物体を引き延ばすような作用を加えれば十分です。引き延ばすタイミングは次の２通りが考えられます。

• 基準配置における微分形式（ベクトル）を引き延ばしてから回転する。

• 微分形式（ベクトル）を回転させてから現在配置において引き延ばす。

ここから、変形勾配テンソルを２種類のストレッチテンソル（ＵとＶ）の一方と回転テンソルの積として表現できます。厳密には、基準配置を参照する物質ストレッチテンソルＵと、現在配置を参照する空間ストレッチテンソルＶという違いがあります。

これまでは変形過程を基準配置と現在配置の２段階で書いてきましたが、逐次的な変形勾配テンソルの合成（連鎖則）として表現することも可能です。

おわりに

今回は変形勾配テンソル（２階テンソル）を中心に、変形問題における理論的な扱い方を示してきました。この変形勾配テンソルを軸にして、様々な理論展開が成されていきます。

次回は変形問題で重要な指標と言える「ひずみ」をテンソルを用いて表現していきます。実際に現場でも出てくる専門用語がありそうなので、自分自身も知識になり得る話題だと思います。

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最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事があなたの人生の新たな気づきになれたら幸いです。今後とも宜しくお願いいたします♪♪
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