物理数学の世界 #5 〜ケプラーの3つの法則（1）〜

物理数学の世界。始まります！

前回は微分方程式を利用して、いくつかの物理現象（物理モデル）について紐解いてみました。

今回は、少しハードルは上がりますが、２次元の物理現象（物理モデル）を扱います。惑星の運動を表現するケプラーの法則についてです。

みなさんはケプラーの法則はご存知でしょうか。高校の物理でも扱う範囲なのですが、その導出まではやらなかった（と言うかできなかった）と思います。

今回は２回に分けて、ケプラーの法則の導出過程を追うことにします。

整理したノートを公開

実際にノートにまとめてみました。本題に入る前に、まずは「ケプラーの法則」について復習しておきます。

■第１法則（楕円軌道の法則）
惑星は太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く。
■第２法則（面積速度一定の法則）
惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は一定である。
■第３法則（調和の法則）
惑星の公転周期Ｐの２乗は軌道の長半径ａの３乗に比例する。

今回は惑星の公転運動（回転運動）に合わせて、直交座標系から極座標系に座標軸を変換する作業をメインに行います。その過程で、ケプラーの第２法則についても証明しました。

２次元の運動に加えて、並進運動から回転運動に座標系を切り替えているので、長丁場になりますが、お付き合いください。

惑星の運動は２次元の問題

太陽系の８つの惑星（冥王星は惑星に含まれない）の公転方向は一致していて、惑星の軌道はほぼ同一の平面内にあるそうです。これは、太陽系の形成過程と密接に関係すると考えられています。

なので、今回のように２次元の物理現象として扱うことができます。基本的に回転運動の話になるので、高校の数学Ｂ（ベクトル）で学習するような直交座標系の考え方から、極座標系に発展させる必要がありました。 

これは、どこかで座標変換の話を挟まないとダメみたいですね（そのうち数学の話で書こうと思います）。

おわりに

今回は２次元の質点の力学の問題の一例として、ケプラーの法則を扱いました。

高校の物理で学習する範囲ではありますが、大学で学習する数学の話をかなり使うため、その導出過程は説明し難いものでした（それ故に公式を覚える方針になってしまったのだと思います）。

基本的に準備段階の話がメインでしたので、運動方程式の話まで進みませんでしたが、次回から登場します。この運動方程式（微分方程式）を解くことで、第１法則と第３法則も示せます。

次回の更新までお待ちいただけたら幸いです。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。なるべく毎日更新する気持ちで取り組んでいきます。あなたの人生の新たな１ページに添えたら嬉しいです。何卒よろしくお願いいたします。

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