液体&気体の流動を見るための流体力学の話 -1-

物質の状態とは「固体」と「液体」と「気体」の３態を指します。

ここで、材料力学に代表される「固体」における変形とは、比較的に小規模でそこから破壊に至ることが多いです。一方で「液体」や「気体」は自身の変形が運動の主要部分を占めます。

上記の「液体」と「気体」を総称して「流体」と呼びます。流体に対しては、各所の微視的構造から来る密度や流速などの物理的な平均量について、常に連続性を持ちます。

このような物体を「連続体」と言います。連続体に関しては以前に書いたので、詳しくはそちらに任せます。ここでの連続体とは、変形に対して抵抗が働くことを前提としています。

変形に対して抵抗が働かない場合を「流体」として扱います。今回はそんな流体に関する力学問題を考える「流体力学」を連載で書くことにします。

今回（初回）は、流体力学における原理原則と言える支配方程式を示ながら、流体の意味するところを見ていきます。

流体力学の支配方程式

流体の状態は、密度・速度・圧力・温度などの物理量を、位置座標や時間の関数として与えることで決定されます。そこには、質量・運動量・エネルギーの保存則が存在します。

それらを定式化したものが、連続方程式・運動方程式・エネルギー方程式になります。この他に、熱平衡状態が成立することを踏まえて、圧力・密度・温度の定式化が固有で決まる「状態方程式」があります。なお、流体を理想気体である場合は、状態方程式は次の通りになります。

$${p={\rho}RT}$$ , $${R=K/m}$$

ここで、Ｋは普遍気体定数、ｍは気体の分子量になります。

境界条件について。流体と固体の接触面では流体が境界面に粘着します。流体を粘性を無視した完全流体とした場合は、境界面のすべりを許容します。また、流体が他の流体と接触する場合は応力の連続性が存在します。

流体の非線形問題

流体が静止状態から運動を始めるときのように、回転運動が最初から流れの中に存在しない場合、流れは渦なしの状態であると規定します。

速度場はスカラーポテンシャル$${\phi}$$を用いて次のように表せます。

$${\bm{u}=\textrm{grad}{\,}{\phi}}$$

また、密度を一定とする非圧縮性流体を想定する場合は、連続方程式は次のように簡略化されます。

$${\textrm{div}{\,}\bm{u}=0}$$

これより、下記に示す「ラプラス方程式」が導かれます。いわゆる、ポテンシャル問題に帰着するということです。

流体力学と数学の結び付きが強いところとして、偏微分方程式による「非線形問題」があります。重ね合わせの原理が通用しないことが、線形問題との決定的な違いです。

$${\frac{\partial \bm{u}}{\partial t}+(\bm{u}{\cdot}\textrm{grad})\bm{u}=-\frac{1}{\rho}\textrm{grad}{\,}p+\nu\Delta{\bm{u}}+\bm{K}}$$

上記は「ナビエ・ストークス方程式」と呼ばれています。左辺第２項は慣性による影響度を表し、右辺第２項は粘性による影響度を表します。特に、慣性と粘性の大きさの比率を表す指標として「レイノルズ数」があります。

$${R=\frac{UL}{\nu}}$$

ここで、ＵとＬは代表速度と代表長さです。この値が大小で「層流」と「乱流」に流体の特性を区別します。

右辺第３項は熱流体の寄与を表します。そして、粘性と熱流体の影響を無視する場合は「オイラー方程式」という形に簡略化できます。

おわりに

今回（初回）は流体力学の支配方程式について見ていきました。これらの方程式を基礎として、流体の性質について考えていきます。

次回は流体の運動と力学について見ていきます。以前に扱いました連続対力学の話題と重なる部分もあると思います。

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最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事があなたの人生の新たな気づきになれたら幸いです。今後とも宜しくお願いいたします♪♪
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