![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/116010427/rectangle_large_type_2_846ae7a6a0fd279463fb4b06fa036ecc.png?width=1200)
数式なしの微積分入門(アップルパイとバームクーヘン)
はじめに
この記事では「円の面積」がどうして
「半径 × 半径 × 円周率」になるのかということを、なるべく数式を用いで考えてみたい。
もちろん算数なので、多少数字は登場しますが、最後まで読んでいただければ嬉しく思います。
(1) そもそも円周率とは何か?
![](https://assets.st-note.com/img/1694568387675-TwwkIYSssZ.png?width=1200)
円周率というのは、
「円周の長さ÷直径」の値のことをいう。
上の図で言えば、
「青い○の長さ」を「赤い線の長さ」で割った値が円周率ということ。
円周率=円周の長さ÷直径
つまり、
円周の長さ=直径 × 円周率
あるいは同じことだが、
円周の長さ=2×半径×円周率
とも言える。
(2) 円の面積を考える
①アップルパイ型微分の考え方
円の面積は、円そのままの形では、長方形や三角形のように面積を考えることができない。
だから、円を「長方形や三角形の形」に変形することを考えてみる。
まず、円を長方形に変える方法として「アップルパイ」を分割するようなイメージでとらえてみよう。
![](https://assets.st-note.com/img/1694569360157-xqLF0NgYCw.png?width=1200)
とりあえず、上の図(↑)のように、円を4等分する。
次に、その4等分したものを互い違いに並べると次のようになる(↓)。
雑な絵ですがこんな感じ。
![](https://assets.st-note.com/img/1694570069625-RVUcXNa429.png?width=1200)
同じように、今度は円を8等分して互い違いに並べると次のようになる。
![](https://assets.st-note.com/img/1694570354757-PisRARvImP.png?width=1200)
もっと細かく切って、同じように互い違いに並べると、やがて次のような長方形に近づくだろう。
![](https://assets.st-note.com/img/1694570823466-rNxZ2mHKnA.png?width=1200)
これで円を長方形に変形することができました。
長方形の面積は「たて×よこ」なので、
円の面積=半径×(円周の半分)
つまり、
円の面積=半径×(半径×円周率)
円の面積=半径×半径×円周率
を導くことができました😀。
②バームクーヘン型微分の考え方
![](https://assets.st-note.com/img/1694571407523-pUts0al1Hf.png?width=1200)
次に「バームクーヘン型微分」的な考え方で円の面積を考えてみる。
図のように(↑)、円の中心を太さの同じ「3本の輪ゴム」で囲む。
次に半径に沿って、輪ゴムをチョキン😃✂️✨と切って並べると次のようになるだろう(↓)。
![](https://assets.st-note.com/img/1694571724080-azymDOaZXv.png?width=1200)
次に、もっと超細い輪ゴムで同じことをしてみると、次のような形に近づいていく。
![](https://assets.st-note.com/img/1694572108918-oyKwlFXVLW.png?width=1200)
三角形の面積は、
「底辺×高さ÷2」だから、
円の面積は、
円周の長さ×半径÷2
=(直径×円周率)×半径÷2
=(半径×2×円周率)×半径÷2
=半径×半径×円周率
よって
円の面積=半径×半径×円周率
アップルパイ型で考えたときと、
同じ結果を得ることができました😀。
(3) 球の表面積について
球の表面積については、以前記事を書いたことがあります。
こちらを参照していただければ、と思います。
記事を読んで頂き、ありがとうございます。お気持ちにお応えられるように、つとめて参ります。今後ともよろしくお願いいたします