数学エッセイ | 虚数を実数で表現する方法

数とは抽象的な概念である。

　今回の記事では高校レベルの数学を扱う。それほど難しくはないが、細かい説明をすると話が長くなるので、エッセイ風に書くことにする。

　小学生では整数(自然数、正の整数)、分数、小数を学ぶ。いずれもプラスの数(正の数)なので、実感として分かりやすい。

　中学生になると、「負の数」を学ぶ。正の数ほど親しみはないかもしれないが、ゼロを起点とした数直線を左にも延長すればよいだけなので、さほど抵抗感はないだろう。教科書で負の数を学ぶ前から、マイナスの気温や、ゴルフのスコアなどで知っている子どもも多い。

　高校生になると、「虚数」「複素数」というものを学ぶ。虚数を定義すると、中学生までは「解なし」としてきた二次方程式もすべて「解あり」となる。

　そもそも数字というものは、正の整数であれ、抽象的なものである。「５個のリンゴ🍎を持ってきて！」と頼まれれば、５個のリンゴを持っていくことはできるが、「５を持ってきて！」と頼まれても、どうすればよいかわからない。しかしながら、右手の指を数えれば「５」はイメージしやすい。

　虚数はどうだろう？「５i 個のリンゴを持ってきて！」と言われても意味をなさない。だから、同じ数字であるにも関わらず、「虚数」(「複素数」)に対するアレルギーが強いのも頷ける。
　
　虚数や複素数に対するアレルギーは、一般の人に限ったことではない。科学者の中にも、基本的に(素粒子のような)「モノ」の位置が「複素数」で表現されると気持ち悪さを感じる人もいるようだ。

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虚数・複素数とは何か？

　虚数とは、二乗すると、－１になる数のことをいう。

また、２i 、５＋３i のような形の数、つまり実数(中学生までに学んだ数直線上にある数) a, bをつかって、
a + bi の形で表される数を「複素数」という。

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複素数平面

　実数(中学生までに習う数)では、「数直線」を考えて、実数の「居場所」を定めた。複素数でも同様に、「居場所」を定める。

ある複素数を Z = a+ bi とする。

複素数の「a」の値を横軸に、「b」の値を縦軸にとると、次のように可視化できる。

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i を掛けるとはどういう意味か？

例えば、ある複素数が
Z = 2 + 3i だとすると、次のように表せる。

「2 + 3i 」の居場所(↑)

次に、 z に「i」を掛けるとどうなるだろうか？
i × z
= i ( 2 + 3i )
= 2i + 3i × i 
= －３+ 2i 

さきほどのグラフに「－３ + 2i」を重ねてかくと次のようになる。

つまり、「 i 」を掛けるとは、複素数平面上における「90度」の「回転移動」を意味する。

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同じことは行列でも表現できる！

「９０度回転」を表現するには、複素数に 「i を掛ける」他に、行列を用いても表現できる。

回転を表す行列は、次のような行列であった。

原点を中心とする回転

９０度回転ならば、
θ＝90 にすればよいから、

原点を中心とする90度回転

さきほど
複素数 Z = 2 + 3i は、i を掛けると
－３＋２i になった。
係数に着眼すれば、
( 2 , 3 ) → ( －3 , 2 ) である。

行列でも同じ結果であった。

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結び

「 i を掛ける」ことと、「0, －1, 1, 0」という二行二列の行列を掛ける意味は同じだ！、ということをグダグダ書いてみた。
私は文系だったので、大学で行列を使ったことはあまりない。微分のヤコビアンで見かけた程度である。
高校生のとき行列を学んだときは、「学ぶ意味」がわからなかった。今も十分に理解しているとは言えないが、「虚数」「複素数」という、実感を伴わない数でも、行列を使えば実数だけで表現できるというのは、すごいことなのかもしれない。