収束と発散 | なんだかなぁ。。。

１をずっと足し合わせていくと無限大になる。

1+1+1+1+1+1+•••=∞　

このように、ある一定の値に近づくことなく大きくなり続けたり、小さくなり続けたりすることを「発散」という。

「チリは積もれば山となる」という言葉があるが、ずっと足し続けても、無限大にならないこともある。

たとえば
1+1/2+1/4+1/8+1/16+•••=２
となる。
その理由は次の絵を見ていただければ分かると思う。

1+1/2+1/4+1/8+•••＝２　---①
のように、
足し合わせていったとき、一定の値になることを「収束」するという。

ほかにも
3+3/10+3/100+3/1000+•••=10/3　----②
のように収束するものはある。

今、式で表したことは、
3.3333•••と同じことだから、どうみても無限大にはならないのことは直感的にわかる。

①にしろ、②にしろ、足し合わされる数字がどんどんゼロに近づくことは、収束するための「必要条件」なのだが、「十分条件」ではない。

足し合わされていく数がゼロに近づいていくにもかかわらず、発散するものもある。

たとえば、正の整数の逆数の和は、発散することが知られている。

1+1/2+1/3+1/4+1/5+•••=∞　---③

①や②の式と見比べると、③も収束するように見えるが、次のように括弧でくくると、発散することが分かる。

1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+•••
というように括弧でくくってみると、
1/3+1/4=7/12＞1/2 となる。
同様に
1/5+1/6+1/7+1/8=533/840＞1/2となる。

このように、③の式は２のべき乗の逆数を区切りにすると、無数に1/2のペアが作れるので、発散することが分かる。

言わんとすることは…
③の式は、
1+1/2+1/2+1/2+1/2+•••という式と同様に、無限に1/2を加えていくようなことと同じだからである。

似ているようにも見えるが、
①の式の場合は、1/4以降に続く分数を何十個足しても1/2を超えることがない。だから、収束する。

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　この記事では「発散」と「収束」について書いてみた。
　数学本を読めば、いちおう理解して納得はするのだが、加えていく数がゼロに近づくならば、収束するんじゃないか？という感覚は残っている。
　頭では納得できるが、心が納得できないというか。、。

　あなたは頭と心の両方で、③が発散することを納得できましたか？

理解はできるわ。
でも。。。
なんだかなぁ。

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