２点間の距離を定義する。

2022年1月4日 17:04

A地点とB地点の距離を定義してみよう。

家と勤務先の距離を尋ねられたら、ほとんどの人は「○○km」、あるいは「○○で✕✕分(あるいは時間)」と答えるだろう。では、もしも四次元の世界に住んでいたらどう答えるだろうか？

今回の記事では「四次元における２点間の距離」を定義してみようと思う。

[一次元の場合]

まず、手始めに「一次元」の世界における２点間の距離を定義してみよう。
一次元とは、１つの数字で居場所が特定できる世界である。言い換えれば「数直線」の世界である。
今、点Aが数直線上の「２」の場所にあり、点Bが「－１」の場所にあるとする。

このとき、AとBの２点間の距離は

２－(－１)＝３

または、結局同じことだが、
絶対値記号( | | )を用いて

　| (－１)－２ |＝| －３ |＝３

としてもよい。

一般化すると、点Aがp、点Bがqならば

AB間の距離＝| p－q |　と定義できる。
( | q－p | でもおなじ。)

「二次元の」とは、１つ点の場所が､２つの数字で表される世界である。言い換えれば、平面の世界である。
２点AとBが下の図のような「座標」で表されているとする。

A( p1, p2 ) B( q1, q2 )

斜辺を線分ABとする三角形において、
三平方の定理より次の関係が成り立つ。

ここで、もう一度「一次元の距離の定義」を見てみよう。

一次元の２点間の距離は
| q－p |　であったが、これは二次元の定義の式と結局同じことである。

三次元とは「たて」「よこ」「高さ」の３つの数字でひとつの場所を表す世界である。
さきほどと同様に２点の座標を

P ( p1, p2, p3 ) Q ( q1, q2, q3 )とする。
グラフは下図のような感じ。

三次元の場合も平面図形と同じように、三平方の定理より

途中の説明・計算をだいぶ省いてしまったが、
X座標、Y座標、Z座標のそれぞれの差を二乗した和の平方根が距離だと定義できる。

四次元以上は、グラフで説明することができない。だから、三次元までで矛盾なく定義できたものをそのまま使う。
四次元だから座標は４つの数字で決まる。

座標では　
A ( p1, p2, p3, p4)
B ( q1, q2, q3, q4)のように表す。

あとはそれぞれについて、差をとり、
それぞれを二乗した和の平方根を求めればよい。

五次元、六次元でも文字をひとつずつ増やしていけばよい。

数学の場合、次元の話題に限らず、「３」くらいまで学べば、「４」以上は機械的に計算する場合が多い。

中学生では、「一次関数」「二次関数」を学ぶ。高校で「三次関数」を学べば、「四次関数」以上は、ほとんど機械的な計算になる。
連立方程式は、中学生で「二元一次方程式」を学ぶが、高校で「三元一次方程式」を学べば、それ以上は特に学ばなくても容易に理解できると思う。