7-1 推定値と標準誤差 ～ 母比率の点推定と標準誤差、ときどき、都道府県別スポーツ実施状況
今回の統計トピック
「統計的推定」の分野に進みます。
今回は母比率の推定値と標準誤差を数式表現で求めます。
「実践する」では、全国の都道府県のスポーツ実施状況を深掘りします。
久しぶりに政府統計「e-Stat」の統計データを活用します！
公式問題集の準備
「公式問題集」の問題を利用します。お手元に公式問題集をご用意ください。
公式問題集が無い場合もご安心ください！
「知る」「実践する」の章で、のんびり統計をお楽しみください！
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📘公式問題集のカテゴリ
推定の分野
問1 推定値と標準誤差（過去１年間に野球を行った15歳以上の割合）
試験実施年月
統計検定2級 2018年6月 問11（回答番号23）
問題
公式問題集をご参照ください。
解き方
題意
次表を参考にしながら、２道県で野球をした人の母比率の推定値$${\hat{p}}$$と標準誤差$${\text{se}(\hat{p})}$$を数式表現で解答します。
なお、推定人口は真の人口と仮定されています。
$$
\begin{array}{c:cc}
項目 & 北海道(i=1) & 沖縄県(i=2) \\
\hline
15歳以上推定人口: N_i & 4,542千人 & 1,150千人 \\
標本の大きさ: n_i& 4,633人 & 2,849人 \\
野球をした人の率: \hat{p_i} & 7.1\% & 9.2\% \\
\end{array}
$$
２道県を母集団とし、母比率の推定値、分散、標準誤差を求めます。
■母比率$${p}$$
母集団である２道県の推定人口のうち、実際に野球をした人の人数の割合が母比率になります。
$$
\begin{align*}
&母比率 \\
\\
&=\cfrac{(北海道の人口\times 野球した率)+(沖縄県の人口\times 野球した率)}{北海道の人口＋沖縄県の人口}
\end{align*}
$$
母比率を$${p}$$、北海道の野球をした人の母比率を$${p_1}$$、沖縄県の野球をした人の母比率を$${p_2}$$、北海道の推定人口を$${N_1}$$、沖縄県の推定人口を$${N_2}$$とすると、上の式はシンプルになります。
$$
p=\cfrac{N_1 p_1+N_2 p_2}{N_1+N_2}
$$
■母比率の推定値$${\hat{p}}$$
母比率の推定値を$${\hat{p}}$$、北海道の野球をした人の標本比率を$${\hat{p_1}}$$、沖縄県の野球をした人の標本比率を$${\hat{p_2}}$$とし、上の式を母比率の推定値に変換します。
$$
\hat{p}=\cfrac{N_1 \hat{p_1}+N_2 \hat{p_2}}{N_1+N_2}
$$
（ア）の解答は$${\cfrac{N_1 \hat{p_1}+N_2 \hat{p_2}}{N_1+N_2}}$$です。
野球選手の男の子のイラスト（将来の夢）：「いらすとや」さんより
■次のステップ
標準誤差$${\text{se}(\hat{p})}$$は、分散の推定量$${\hat{V}[\hat{p}]}$$の平方根です。
まず、母比率の推定値$${\hat{p}}$$の分散$${V[\hat{p}]}$$を求め、次に分散の推定量の平方根である標準誤差$${\text{se}(\hat{p})}$$を計算します。
■分散$${V[\hat{p}]}$$
上の計算で求めた母比率の推定値$${\hat{p}=\cfrac{N_1 \hat{p_1}+N_2 \hat{p_2}}{N_1+N_2}}$$を$${V[\hat{p}]}$$に当てはめるところから始めます。
途中で、次の公式を利用します
①分散の公式：$${V[aX]=a^2V[X]}$$
②標本比率$${\hat{p}}$$の分散の公式：$${V[\hat{p}]=\cfrac{p(1-p)}{n}}$$
なお、問題文より、北海道の標本の大きさは$${n_1}$$、沖縄県の標本の大きさは$${n_2}$$であり、$${\hat{p_1},\hat{p_2}}$$は独立です。
$$
\begin{align*}
V[\hat{p}]&=V\left[\cfrac{N_1 \hat{p_1}+N_2 \hat{p_2}}{N_1+N_2}\right] \\
\\
&=V \left[ \cfrac{N_1 \hat{p_1}}{N_1+N_2}+\cfrac{N_2 \hat{p_2}}{N_1+N_2}\right] \\
\\
&=V \left[ \cfrac{N_1 }{N_1+N_2}\ \hat{p_1}+\cfrac{N_2}{N_1+N_2}\ \hat{p_2}\right] \\
\\
&=V \left[ \cfrac{N_1 }{N_1+N_2}\ \hat{p_1}\right]+V\left[\cfrac{N_2}{N_1+N_2}\ \hat{p_2}\right] \\
\\
&=\left(\cfrac{N_1 }{N_1+N_2} \right)^2 V \left[ \hat{p_1}\right]+ \left(\cfrac{N_2}{N_1+N_2} \right)^2V\left[\hat{p_2}\right] \cdots 公式① \\
\\
&=\left(\cfrac{N_1 }{N_1+N_2} \right)^2 \cfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+ \left(\cfrac{N_2}{N_1+N_2} \right)^2\cfrac{p_2(1-p_2)}{n_2} \cdots 公式②\\
\end{align*}
$$
分散が求まりました。
あとひといき！
■標準誤差$${\text{se}(\hat{p})}$$
北海道と沖縄県の母比率$${p_1, p_2}$$を標本比率$${\hat{p_1},\hat{p_2}}$$に置き換えて分散の推定量を求めて、平方根をとります。
$$
\text{se}(\hat{p})=\sqrt{\left(\cfrac{N_1 }{N_1+N_2} \right)^2 \cfrac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1}+ \left(\cfrac{N_2}{N_1+N_2} \right)^2\cfrac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}
$$
標準誤差が求まりました。
（イ）の解答は$${\sqrt{\left(\cfrac{N_1 }{N_1+N_2} \right)^2 \cfrac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1}+ \left(\cfrac{N_2}{N_1+N_2} \right)^2\cfrac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}}$$です。
スポーツで余暇を楽しむことって、素敵です！
解答
② です。
難易度 ふつう
・知識：母比率、標本比率、標準誤差
・計算力：数式組み立て（低）、数式計算（中）
・時間目安：2分
知る
おしながき
公式問題集の問題に接近してみましょう！
ここでは「2021年の北海道と沖縄県の野球行動者の割合データ」を利用します。
野球行動者は、過去１年間にキャッチボールを含む野球を行った15歳以上の人です。
【出典記載】
出典：「令和３年社会生活基本調査結果」（総務省統計局、URL: https://www.e-stat.go.jp/stat-search/files?stat_infid=000032223345）
【コンテンツ編集・加工の記載】
記事の記載にあたっては、出典記載の「令和３年社会生活基本調査結果」（総務省統計局）を加工して作成しています。
標準誤差
標準誤差、母比率・標本比率の概要をざっと確認してから、2021年のデータを用いて公式問題集の類似問題を解きましょう。
📕公式テキスト：3.3.1 点推定（107ページ）
公式テキストでは、標本平均などの推定量（値）のばらつきを示す指標として「標準誤差」を紹介しています。
（母平均における標本平均・中央値・刈込み平均などのように、一致推定量が複数あるとき）
一致推定量どうしを比較するのであれば、ばらつきが小さな推定量のほうが優れている。ただし、推定量$${\theta}$$の分散は未知である。
そこで分散の推定量$${\boldsymbol{\hat{V}[\hat{\theta}]}}$$の平方根が用いられる。 これを標準誤差とよび、$${\text{se}(\hat{\theta})}$$あるいは単に$${\text{se, s.e.}}$$などと表す。
公式テキストの脚注によると、標準誤差の定義には次の２つの流儀があるそうです。
推定量の標準偏差$${\{V[\hat{\theta}]\}^{1/2}}$$
推定量の標準偏差$${\{V[\hat{\theta}]\}^{1/2}}$$の推定値（公式テキストが採用）
標本平均の標準誤差
標準誤差といえば、一般に、標本平均の標準誤差を示す印象です。
標本平均$${\bar{x}}$$の標準誤差$${\text{se}(\bar{x})}$$を求めてみましょう。
標本平均の分散$${V[\bar{x}]=\sigma^2/n}$$の母分散$${\sigma^2}$$を推定量（値）$${\hat{\sigma}^2}$$で置き換えます。
1. で求めた$${\hat{V}[\bar{x}]=\hat{\sigma}^2/n}$$の平方根を取ります。
$${\text{se}(\bar{x})=\hat{\sigma}/\sqrt{n}}$$の出来上がり！
なお、母分散の推定量（値）$${\hat{\sigma}^2}$$は不偏分散です。
$${\hat{\sigma}^2=\cfrac{1}{n-1}\displaystyle \sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2}$$
（例）
サンプルサイズ$${n=64}$$、標本平均$${\bar{x}=50}$$、標本分散$${\hat{\sigma}^2=16}$$のとき、標準誤差$${\text{se}(\bar{x})=\hat{\sigma}/\sqrt{n}=\sqrt{16}/\sqrt{64}=4/8=0.5}$$です。
母平均の推定値（標準誤差付き）は$${50 \pm 0.5}$$です。
母比率・標本比率
📕公式テキスト：3.4.4 母比率の推定（118ページ～）
母集団における何かの割合が母比率$${p}$$です。
テレビの視聴率、内閣支持率などが母比率の例です。
母比率$${p}$$の推定量として標本比率$${\hat{p}=x/n}$$を考えます。
$${x}$$は何かに該当する数（確率変数）です。あるテレビ番組を見た人数、内閣を支持する人数などです。
$${n}$$はサンプルの大きさです。100人を調査した場合、$${n=100}$$です。
標本比率$${\hat{p}}$$の期待値、分散、標準誤差は次のようになります。
・期待値$${E[\hat{p}]=p}$$
・分散$${V[\hat{p}]=\cfrac{p(1-p)}{n}}$$
・標準誤差$${\text{se}(\hat{p})=\sqrt{\cfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$$
2021年のデータを調べる
2021年（令和3年）の社会生活基本調査の調査結果データから、全国、北海道、沖縄について、ふだんのスポーツの行動状況を抜き出しました。
ちなみに調査票（抜粋）は次のような感じです。
スポーツを行った日数を質問しているようです。
2021年の調査結果から、北海道と沖縄県の過去１年間に野球を行った15歳以上の割合等のデータをまとめました。
$$
\begin{array}{c:cc}
項目 & 北海道(i=1) & 沖縄県(i=2) \\
\hline
15歳以上推定人口: N_i & 4,412千人 & 1,180千人 \\
標本の大きさ: n_i& 4,935人 & 2,523人 \\
野球をした人の率: \hat{p_i} & 6.6\% & 6.0\% \\
\end{array}
$$
2016年（平成28年）調査結果とくらべます。
15歳以上の推定人口は、北海道が130千人減少、沖縄県が30千人増加しています。
野球をした人の率は、北海道が0.5ポイント減少、沖縄県が3.2ポイント減少しています。
類似問題です
それでは、2021年データに基づいて、北海道と沖縄県の２道県合計について、野球を行った人の母比率の推定値と標準誤差を算出しましょう！
まずは母比率の推定値から。
$$
\begin{align*}
&母比率の推定値 \\
\\
&=\cfrac{(北海道の人口\times 野球した率)+(沖縄県の人口\times 野球した率)}{北海道の人口＋沖縄県の人口} \\
\\
&=\cfrac{4412 \times 0.066+1180 \times 0.060}{4412+1180} \\
\\
&=\cfrac{361.992}{5592} \\
\\
&=\cfrac{361.992}{5592} \\
\\
&=0.0647 \cdots \\
\end{align*}
$$
母比率の推定値は$${6.5\%}$$です。
2018年は 7.5% であり、5年間で 1 ポイント減少しています。
続いて標準誤差です。
$$
\begin{align*}
&北海道=(北海道人口割合)^2\times \cfrac{北海道野球率\times (1-北海道野球率)}{北海道サンプルサイズ} \\
\\
&沖縄県=(沖縄県人口割合)^2\times \cfrac{沖縄県野球率\times (1-沖縄県野球率)}{沖縄県サンプルサイズ} \\
\\
&標準誤差=\sqrt{北海道+沖縄県} \\
\\
&=\sqrt{\left(\cfrac{4412}{4412+1180} \right)^2\cfrac{0.066\times(1-0.066)}{4935}+\left(\cfrac{1180}{4412+1180} \right)^2\cfrac{0.060\times(1-0.060)}{2523}} \\
\\
&=\sqrt{\left(\cfrac{4412}{5592}\right)^2 \times \cfrac{0.061644}{4935}+\left(\cfrac{1180}{5592}\right)^2 \times \cfrac{0.0564}{4935}} \\
\\
&=0.00296 \cdots
\end{align*}
$$
標準誤差は 0.3 ポイントです。
北海道＋沖縄県の野球行動者の比率は$${6.5\% \pm 0.3ポイント}$$です。
日本は野球が盛んな国だと思っていましたが、大人の野球の競技人口はそれほど多くないようです。
一方で観戦者数は多いのでしょう。
高校野球、プロ野球、大リーグなどを観戦して、わいわい応援するのも楽しいですね！
実践する
スポーツを通じて統計を掘り下げてみよう！
今回は豪華二本立てです！
①手作業やEXCELを用いて、母比率の推定値と標準誤差の計算を実践します。
②EXCELとPythonを利用して、日本のスポーツ実践の特色を調査します。
「2021年の北海道と沖縄県の野球行動者の割合データ」は政府統計の総合窓口「e-Stat」で公開されています。
総務省統計局の「社会生活基本調査」で作成される統計データです。
５年ごとに実施されているそうです。
次のリンクでダウンロードサイトを開くことができます。
「表示・ダウンロード」をクリックすると、EXCELファイル（ファイル名：a085_2.xlsx）をダウンロードできます。
EXCELファイルの顔つきはこんな感じ。
CSVファイルのダウンロード
こちらのリンクから「2021年の都道府県別・スポーツの種類別行動者の割合データ」のCSVファイルをダウンロードできます。
Pythonサンプルファイルを利用する方は、このCSVファイルをダウンロードしてください。
電卓・手作業で作成してみよう！
上述の方法でデータを取得して、または、「知る」に掲載の数値を利用して、電卓やそろばんをはじいて、手作業で母比率と標準誤差を計算してみましょう！
一番記憶に残る方法ですし、試験本番の電卓作業のトレーニングにもなります。
EXCELで作成してみよう！
データ数が多い場合、やはり手作業では非効率になります。
パソコンを利用して、手早く作表できるようになれば、実務活用がしやすくなるでしょう。
計算シートの紹介
素データから都道府県とスポーツを選択して、母比率と標準誤差を計算するシートです。
さまざまな都道府県の組み合わせを入力して、スポーツの盛り上がりの状況を確認してみましょう！
パラメータ入力欄の「都道府県１」「都道府県２」「スポーツ」は入力規制機能を利用して、ドロップダウンリストで選択できます。
■「データの入力規則」画面の概要
メニューパス
「メニュー」＞「データ」＞「データツール」＞「データの入力規制」
標本サイズ、行動者率、推定人口は、VLOOKUP関数で別シートの素データから取得しています。
データを分析
お題を変えます！データ分析に移ります！
スポーツの種類を全国の各行動者率の高い順に並べました。
全国的に行動者の多い高いスポーツが分かります。
ダントツはウォーキング等。
続いて、器具利用（フィットネス？）、ジョギング等、サイクリング、登山等、つり、ゴルフなど。
上位には、ひとり時間を楽しむスポーツが多い印象です。
団体スポーツでは、野球がトップ。
WBCの熱狂が続いて、これから野球をプレイする人が増えるかもしれませんね（希望的観測）。
野球、サッカー、ウォーキング等について、都道府県別の人口と行動者率の散布図を作りました。
人口とスポーツ行動者率との間に、何か傾向を見つけられたでしょうか？
EXCELサンプルファイルのダウンロード
こちらのリンクからEXCELサンプルファイルをダウンロードできます。
Pythonで作成してみよう！
プログラムコードを読んで、データを流したりデータを変えてみたりして、データを追いかけることで、作表ロジックを把握する方法も効果的でしょう。
サンプルコードを揃えておけば、類似する作表作業を自動化して素早く結果を得ることができます。
今回は、全国のスポーツ行動の傾向をグラフで探ります。
「2021年の都道府県別・スポーツの種類別行動者の割合データ」を利用します。
①インポート
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
plt.rcParams['font.family'] = 'MS Gothic'
%matplotlib inline②csvファイルの読み込み
まず、上述のダウンロードリンクより、CSVファイルをダウンロードします。
その後、次のコードを実行して、CSVファイルをpandasのデータフレームに読み込みます。
datafile = './sample_data.csv' # CSVファイルの格納フォルダとファイル名を設定
df = pd.read_csv(datafile)
col_list = df.columns.values
print(df.shape)
display(df.head())
③都道府県別のスポーツ実施状況
プロット用の関数を定義します。
# 都道府県別スポーツ行動率のプロット関数（１スポーツを指定）
def sports_act_rate_plot(col, lower=None, upper=None):
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4), tight_layout=True)
df_play = df.iloc[1:][['都道府県', col]].sort_values([col], ascending=False)
plt.bar(df_play['都道府県'], df_play[col])
plt.axhline(df.iloc[0][col], c='red', lw=1, ls='--', label=f'全国平均: {df.iloc[0][col]}%')
fig.autofmt_xdate(rotation=45)
plt.ylabel('行動者率(%)')
if lower is not None:
plt.ylim([lower, upper])
plt.title(f'{col} - 2021年 都道府県別 スポーツの種類別行動者率')
plt.legend()
plt.show()■スポーツ行動率の高い都道府県を探索
さあ、最もスポーツ行動率が高い都道府県はどこでしょう？
# スポーツ行動率の高い都道府県の順にプロット
col = '00_総数'
sports_act_rate_plot(col, 45, 75)
トップ５は、東京都、神奈川県、埼玉県、愛知県、千葉県です。
首都圏の割合が高いみたいです。
全国平均は６５％。半数以上の人が１年の間にスポーツを行ったようです。
■スポーツ間の行動率の傾向を探索
２つのスポーツの相関関係を確認しましょう。
緑色は正の相関、橙～赤色は負の相関です。
# スポーツの種類間の相関係数 ヒートマップ
plt.figure(figsize=(15, 6))
sns.heatmap(df.iloc[:, 3:26].corr(numeric_only=True), cmap='RdYlGn',
vmin=-1, center=0, vmax=1, annot=True, fmt='.2f');
正の相関（両方のスポーツの行動傾向が近い）
「サイクリング」・「ジョギング・マラソン」・「ウォーキング・軽い運動」・「ヨガ」・「器具を使ったトレーニング」は正の相関が強めです。
「サッカー」と「ジョギング・マラソン」も正の相関が強めです。
負の相関（両方のスポーツの行動傾向が逆）
「つり」と「登山・ハイキング」「サイクリング」は負の相関が強めです。
■正の相関関係の強いスポーツの例
「サイクリング」と「ウォーキング・軽い体操」
# サイクリングとウォーキング・軽い体操の都道府県別の傾向
col = '18_サイクリング'
sports_act_rate_plot(col)
col = '20_ウォーキング・軽い体操'
sports_act_rate_plot(col)
上位どうし、下位どうしに同一の都道府県が現れています。
首都圏が上位、東北・九州が下位に寄っている感じがします。
■負の相関関係の強いスポーツの例
「つり」と「登山・ハイキング」
# つりと登山・ハイキングの都道府県別の傾向
col = '14_つり'
sports_act_rate_plot(col)
col = '17_登山・ハイキング'
sports_act_rate_plot(col)
つりの上位、広島県・愛媛県・熊本県は、登山等の中位～下位です。
一方で、登山・ハイキングの上位、東京都・神奈川県は、つりの下位です。
東京都・神奈川県の登山・ハイキング人気は意外でした。
④人口とスポーツの関係の探索
人口の多い都道府県とスポーツの種類の関係を確認します。
箱ひげ図で１５歳以上推定人口の分布状況を見てみましょう。
# 都道府県別15歳以上推定人口の四分位数を確認
display(df.iloc[1:]['推定人口'].quantile(q=[0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]))
plt.boxplot(df.iloc[1:]['推定人口'], vert=False);
・全体の上位25%都道府県の15歳以上推定人口は2,277千人
・外れ値の都道府県は８つ
トップ５（6,000千人以上）の都道府県を赤色にマーキングして、スポーツと人口の多さの関係を可視化してみましょう。
# トップ５の一覧
threshold = 6000 # 15歳以上推定人口トップ5
df[df[col_list[1]] > threshold].iloc[1:].sort_values([col_list[1]], ascending=False)
■スポーツ別の行動率が高い都道府県順プロット
プロット用の関数を定義します。
# 都道府県別スポーツ行動率のプロット関数（複数スポーツを指定、人口トップ５都道府県は赤色）
def sports_act_rate_plot2(cols):
for col in cols:
all_mean = df.iloc[0][col]
df2 = df.iloc[1:][[col_list[0], col, col_list[1]]]
df2[col_list[0]] = df2[col_list[0]].str[3:]
df2 = df2.sort_values([col], ascending=False)
color = ['red' if num > threshold else 'steelblue' for num in df2[col_list[1]]]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4), tight_layout=True)
plt.bar(df2[col_list[0]], df2[col], color=color)
plt.axhline(all_mean, c='red', lw=1, ls='--', label=f'全国平均: {all_mean}%')
fig.autofmt_xdate(rotation=45)
plt.ylabel('行動者率(%)')
plt.title(f'{col[3:]} - 2021年 都道府県別 スポーツの種類別行動者率')
plt.legend()
plt.show()cols にリスト形式でスポーツの種類を指定して、グラフを表示します。
次のコードは野球、ソフトボール、バレーボール、バスケットボール、サッカーの５種のグラフを出力するサンプルです。
cols = [ '01_野球(キャッチボールを含む)', '02_ソフトボール', '03_バレーボール',
'04_バスケットボール', '05_サッカー(フットサルを含む)' ]
sports_act_rate_plot2(cols)出力イメージは省略します。
人口トップ５の都道府県（赤色）で人気のスポーツをいくつかグラフで確認しましょう。
■サッカー
■サイクリング
■ヨガ
■器具を使ったトレーニング
次は人口のトップ５の都道府県で行動率の低いスポーツをいくつかグラフで確認しましょう。
■バレーボール
■グラウンドゴルフ
■つり
スポーツを行うことについて、都道府県ごとに特色がありそうな感じがしました。
みなさんのお住まいの地域では、どんなスポーツが盛んですか？
Pythonサンプルファイルのダウンロード
こちらのリンクからJupyter Notebook形式のサンプルファイルをダウンロードできます。
おわりに
今回から「推定の分野」が始まりました。
推定の分野には、特定の値を推定する「点推定」と、一定の幅を推定する「区間推定」が含まれます。
今回は母比率の値を点推定しました。
次回は不偏推定量の話題です。数式です。。。
最後までお読みいただきまして、ありがとうございました。
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