流体力学の理想形態（完全流体）の物理を知ること -7-

流体力学で理想状態のひとつに見做される「完全流体」について。連続体と仮定した場合に、流体の接線応力（抵抗力）を無視したものとして、完全流体の定義が成されます。

流体圧力を２階のテンソルで表記した場合に、圧力のスカラー量（ｐ）とクロネッカーのデルタ（行列的な対角成分を有値にする処理）と合わせて、次のように表現されます。

$${p_{ij}=-p\delta_{ij}}$$

今回の連載では、完全流体としての物理的な特性を中心に見ていきます。

前回はポテンシャル流の物理（解析学）から、力学的問題（発生する力など）を求めるまでの流れを見ていきました。

今回からはポテンシャル流の２次元問題を見ていきます。２次元問題に集約することから、複素速度ポテンシャルを用いた議論を導入します。

複素速度ポテンシャル

直交座標系に対する２次元の平面（ｘーｙ平面）に限定します。流れ場も平面問題になることから、渦度は次のようになります。

$${\bm{\omega}=\textrm{rot}{\bm{u}}=(0,0,\omega)}$$ , $${\bm{u}=(u,v,0)}$$

すなわち、渦度（ベクトル）は常に流れ場に対して垂直です。渦度の大きさは流れ関数を用いると、次のようになります。

$${\omega=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=-(\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2})=-\Delta{\Psi}}$$

ポテンシャル流は非圧縮性完全流体で渦なしであることが前提ですので、流れ関数に対するラプラシアンの結果はゼロになります。

ここから複素関数を交えて問題を考えます。２次元のポテンシャル流の問題は、結局のところ、速度ポテンシャルと流れ関数の関係は下記に示す「コーシー・リーマンの関係」に対応します。

$${u=\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\frac{\partial \Psi}{\partial y}}$$, $${v=\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}}$$

ここから、複素関数を含めた形の複素速度ポテンシャルを導入します。

$${W=\Phi+{i}\Psi}$$, $${z=x+{i}y}$$

正則関数であることを前提にすると、複素速度ポテンシャルの微分形は次のようになります。

$${\frac{dW}{dz}=\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\partial \Phi}{\partial x}+{i}\frac{\partial \Psi}{\partial x}=u-{i}v}$$

複素速度ポテンシャルに対して、複素速度を改めて導入すると、両者の関係は次のようになります。

$${w=u-{i}v=\frac{dW}{dz}}$$

以上のように、複素速度ポテンシャルが正則関数として与えられるならば、２次元のポテンシャル流の説明は可能と言えます。その際は、先に示した「コーシー・リーマンの関係」に則します。

簡単な複素速度ポテンシャルの解析

正則な複素速度ポテンシャルが複数ある場合、その１次結合（係数Ｃは任意定数）もまた正則関数と言えます。

$${W=C_1W_1+C_2W_2}$$

簡単な２次元渦なし流が見出された場合、複数の複素速度ポテンシャルの重ね合わせにより、複雑な解を構成することができます。ここでは、その実例をいくつか紹介します。

最も簡単な一様流（流れ場の速さＵを定数として扱う）について、ｘ軸との傾きを設けた場合に、複素速度ポテンシャルを次のように表現します。

$${W=Ue^{-{i}\alpha}z}$$

次に角を設けた流れについて、べき関数を利用して次のように複素速度ポテンシャルを規定します。

$${W=Az^a}$$, $${z=re^{{i}\theta}, A=|A|e^{{i}\alpha}}$$

これを複素速度ポテンシャルと速度ポテンシャルおよび流れ関数（これらは複素関数ではない点に注意します）の関係から、次のようになります。

$${\Phi=|A|r^a\textrm{cos}(a\theta+\alpha)}$$, $${\Psi=|A|r^a\textrm{sin}(a\theta+\alpha)}$$

ここから流れ関数の方をゼロにするための角度を求めると、次のようになります。流線は原点を通る放射状の直線群であり、角を表現するための隣接する２直線の挟む角度（$${\pi/a}$$）に基づきます。

$${\theta=\frac{n\pi-\alpha}{a}}$$

その他の流線は流れ関数を定数値（Ｃ）として、次のようになります。

$${r=|\frac{C}{A}|^{\frac{1}{a}}|\textrm{sin}(a\theta+\alpha)|^{-\frac{1}{a}}}$$

角の表現は正定数（ａ）で決まります。例えば正定数（ａ）が１より大きい値であれば、角は鋭角の状態に自ずと規定されます。

最後に２次元の２重わき出し（同強度の２次元のわき出しと吸い込みが近接距離に配置）について、近接距離に対する極限を取ると、複素速度ポテンシャルは次のようになります。

$${W=-\frac{\mu{e^{{i}\alpha}}}{z}}$$, $${z_1=\varepsilon{e^{{i}\alpha}}, z_2=-\varepsilon{e^{{i}\alpha}} }$$

ここで、わき出し（吸い込み）の強度（ｍ）を仮定して、原点からの距離（$${\varepsilon}$$）を規定します。

$${\mu=2\varepsilon{m}}$$

２次元の２重わき出しによる流れは、原点で軸に接する全ての縁が流線になり、原点で軸に直交する全ての円が等ポテンシャル線になります。

おわりに

今回は２次元のポテンシャル流の問題について、複素関数（コーシー・リーマンの関係）の考え方に基づいて、簡単な流れ場の導出を考えてみました。

次回は円柱を障害物とした場合の２次元のポテンシャル流の問題を扱います。今回の過程を踏まえた流れに準じることになると思います。

-------------------------
最後まで読んで頂き、ありがとうございます。この記事があなたの人生の新たな気づきになれたら幸いです。今後とも宜しくお願いいたします♪♪
-------------------------

⭐︎⭐︎⭐︎ 谷口シンのプロフィール ⭐︎⭐︎⭐︎

⭐︎⭐︎⭐︎ ロードマップ ⭐︎⭐︎⭐︎