集合論 part9

今回は写像について説明します。

写像とは、特別な関係のことを言います。

XとYの関係Mが次の条件を満たす時を写像と言います。

(1)Xの任意の元xは必ず、Yにある元yに関係する。

(2)1つのxが異なる2つ以上のyに関係しない。

絵で表すとこんな感じです。

つぎに、写像の性質についてです

写像には大きく3つ性質があります。

(1)全射

全射とは、上の画像のように

「Yの任意の元yに対応する、元xがXに存在する」

ということを言います。

(2)単射

単射とは、上の画像のように、

「Xの元xが、Yの元yに1対1の関係になっている」

ということを言います。

(3)全単射

全単射とは、上の画像のように、

「全射と単射を併せ持った関係」

のことを言います。

次に逆写像についてです。

逆写像とは、

今までの写像はX→Yの向きでしたが、逆写像はこの逆Y→Xの向きの写像のことを言います。

写像fの逆写像は

のように表されます。

最後に写像の合成についてです。

写像f:X→Yと写像g:Y→Zに対し、合成写像h:X→Zは

のように表し、

定義域はX、値域はg(f(x))になる。絵で表すと

になります。