集合論 part4

今回は、もうややこしすぎて、今の自分はあまり綺麗に整理出来ていません。なので、書きながら整理していきます。

今回出てくるのは

1,直積集合

2,無限集合の大きさの測り方

3,可付番集合(可算集合)

今回は、この3つです。

まずは、1,直積集合についてです。

直積集合は、集合Aと集合Bがあったとします。そのAとBの元の総当りのことを言います。

直積集合は、AとBの直積集合の場合

A×Bというように×で表します。

次に、2,無限集合の大きさの測り方についてです。

有限集合の場合、元を数えて濃度を表せましたが、無限集合の場合そうはいきません。だって、無限にあるから。

では、ここで数えるとはどういうモノか考えてみましょう

我々は、何かモノを数える時、「1,2,3…」と数えますよね。

これは、言い換えると、何かモノを1,2,3...という自然数に対応させてると言えます。

このように、1対1の対応を全単射といいます。これで大きさを測ります。

そして、1対1の対応を持つAとBは対等と言います。

対等な場合をA~Bのように表します。

最後に、3,可付番集合(加算集合)についてです。

これは、無限集合の中の種類のことで、自然数と対等の集合。つまり、数の数えられる無限集合のことを指します。

この加算集合より、大きいか小さいかの証明が凄くややこしいのです。だから、更新までが長くなりました。

僕も8割ぐらいしか理解していないので、間違ったことを書いてしまいそうなので、今回は書きません。

興味がある方は「カントールの対角線論法」と調べてみて下さい。実数の濃度は、自然数の濃度より大きいということの証明が出てくると思います。