♥️加法定理(三角関数)なんて💮ひとつ覚えればいい♥️

サイン、コサイン、タンジェント。
懐かしいですね✨。

高校の三角関数では、た～くさん公式が出てきて覚えるのがたいへん😖💦。

だけど、それは「微分」を学習する前に「三角関数」を学ぶからなのだ。

今回の記事を理解するには、三角関数の微分の知識がすこし必要になる。

Q.[問]
正弦(サイン)の加法定理から、余弦(コサイン)の加法定理を導け。

問題の意味は次の通り。

正弦(サイン)の加法定理は

sin(α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ...①

余弦(コサイン)の加法定理は

cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ...②

①の式から、②の式を導くには、①の両辺をαについて「微分」すればよい。

*とりあえず、ここで三角関数の微分の公式を復習しておこう！

y=sinxを微分すると
y'=cosx.
y=cosxを微分すると
y'=－sinx.

では、①の式の両辺をαで微分🎵してみよう♥️。
(注)　αについての微分だから、βを含む部分は「定数」として考える。

まず①の左辺から。

(sin(α＋β))'=cos(α＋β)...③。

次に①の右辺を微分する。

(sinαcosβ＋cosαsinβ)'
=(sinαcosβ)'＋(cosαsinβ)'
=(sinα)'cosβ＋(cosα)'sinβ
=cosαcosβ－sinαsinβ...④。

③と④をまとめると

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

こ、これは②と同じ式だ‼️

数学って楽しい💃ね。

①と②がわかれば
sin(α－β)の加法定理は
①のβを－βに、
cos(α－β)の加法定理は
②のβを－βに置き換えるだけ❤️。

ちなみに、
tan(α＋β)の加法定理は

tanθ＝sinθ/cosθから導くことが
できる。

それができれば

tan(α－β)は、β→－βに置き換える
だけ。

❤️公式をやみくもに覚えるより、導き方を覚えることが、本当の数学の学習だと思う。

(注)実は「オイラーの公式」を覚えれば、ほとんどの式は導けるけど、それは「大学の数学」なので、今回は割愛した。