【現役東大生が解説】中学受験の面白い問題を紹介します！④

みなさん、こんにちは！
現役東大生ライターの松岡頼正です。

この連載では中学入試の面白い問題を、詳しい解説込みで紹介しています。

前回の記事はこちらです。

さて、今回は私の出身校、西大和学園の問題です。 

１から１１１１１１の整数のうち、各桁（けた）が０または１である整数は◇個あります。また、それらすべての和は◇です。

2016年度 西大和学園中学入試問題 算数第１問(6)

この問題は、条件に当てはまる数を全て書き出していると効率が悪いですね。
 
とはいえ、法則性を見つけるために、３桁ぐらいまでは書き出してみてもいいでしょう。
 
「１から１１１１１１の整数のうち、各桁が０または１であるもの」ということなので、小さい方から順に並べると、
 
１桁：１
２桁：１０、１１
３桁：１００、１０１、１１０、１１１
 
となりますね。
 
ここまでで、何か共通点や法則は見えてきたでしょうか？
 
ここで一つ言えるのは、「一番上の位の数は１しかありえない」ということですね。４桁以降の数で考えても、ずっと同じです。
 
そんなの当たり前でしょ、と思いましたか？
 
ただ、ここで注目したいのは、一番上の位が１で固定されるため、逆に「それ以外の位は０と１のどちらでも構わない」ということです。
 
つまり、２桁だと、一の位は０か１の２通り。
 
３桁だと十の位が０か１で２通り、一の位が０か１で２通りの計４通りです。
 
１桁：１
２桁：１０、１１
３桁：１００、１０１、１１０、１１１
 
実際にそうなっていますね。
 
同じ要領で４桁の数を考えてみると、百の位が０か１で２通り、十の位と一の位も同様に２通りずつあるので、２×２×２＝８通りの数ができます。

具体的には、
 
１０００
１００１
１０１０
１０１１
１１００
１１０１
１１１０
１１１１
 
の８パターンですね。
 
この要領でいくと、５桁の数は２×２×２×２＝１６通り、６桁の数は２×２×２×２×２＝３２通りあると分かります。
 
したがって、条件に当てはまる数は合計で１＋２＋４＋８＋１６＋３２＝６３個あるということになります。
 
規則性さえつかめれば、すぐに計算ができますね。

 

では次に、総和を求めていきましょう。
 
こちらも、すべての数字を並べて愚直に足していくのは時間のロスが大きいです。
 
もう少し楽に答えを出したいですね。
 
ではどうするかと言うと、考え方は２パターンあります。まず1つ目は、「ある位の１が何回出てくるか」をカウントする方法です。
 
試しに先ほどの４桁の数を見てみましょう。
 
１０００
１００１
１０１０
１０１１
１１００
１１０１
１１１０
１１１１
 
８つの数のうち、千の位は全部１、それ以外の位は０と１が半分ずつですね。
 
なので、それぞれの位で１が出てくる回数は順に８・４・４・４で、合計が「８４４４」となります。
 
これを１６個ある５桁の数で考えると、万の位で１が出てくるのは１６回、それ以外の位では半分の８回なので、合計は１６００００＋８０００＋８００＋８０＋８＝１６８８８８だと分かります。
 
この要領で１～６桁それぞれの数の合計を求めると、

　　　　　　　　１
＋　　　　　　２１
＋　　　　　４２２
＋　　　　８４４４
＋　　１６８８８８
＋　３３７７７７６
――――――――――
　　３５５５５５２ 

となります。
 
うまくあわない場合は、もう一度計算してみてくださいね。

 

さて、もう一つの解き方ですが、実はこっちの方がもっと簡単です。
 
ただし、解くのは易しくても、思いつくのはなかなかに難易度が高いです。
 
そのため、「へぇー、そんな考え方もあるんだ」ぐらいに思って頂いて構いません。