【数学雑学】２＝１の証明（０で割れない理由）

このページでは、「２=１の証明」について解説しています。

０で割れない理由を、具体的にわかりやすく解説していきます。

少しでも数学に興味を持てるきっかけになれば嬉しいです。

有名な証明問題です。

どこが違っているのかわかりますか？

正解は、「④ 両辺を $${a−b}$$ で割る」です。

なぜなら、$${a=b}$$ と仮定しているので $${a−b=0}$$ です。

数学は 0 で割ってはいけないのです。

この証明問題は、2008年に虚構新聞に掲載された記事です。

虚構新聞なので嘘の記事ですが、よくできた証明問題ですね。

それでは、なぜ 0 で割ってはいけないのか考えてみましょう。

2. ０で割ってはいけない理由（中学生向け）

$${4÷2=2}$$　→　$${4=2×2}$$
$${6÷2=3}$$　→　$${6=3×2}$$

このように割り算は、掛け算で表すことができます。

それでは

$${3÷0=x}$$

を考えてみましょう。

0 で割ると何になるかわからないので、$${x}$$ とします。

同じように割り算を掛け算に変換すると

$${3÷0=x}$$　→　$${3=x×0}$$　　
　　　　　　　　　$${3=0}$$

$${3=0}$$ になって矛盾します。

3. ０で割ってはいけない理由（高校生向け）

$${1÷2}$$　→　$${\frac{1}{2}}$$
$${1÷3}$$　→　$${\frac{1}{3}}$$

のように割り算は分数で表すことができます。

0 で割ってはいけないということは、分母が 0 になってはいけないと言い換えることができます。

それでは

$${1÷0}$$

を考えてみましょう。

例えば、$${y＝\frac{1}{x}}$$ のグラフを考えてみます。

$${x=2}$$、すなわち分母が$${2}$$のとき　→　$${y=\frac{1}{2}}$$
$${x=3}$$、すなわち分母が$${3}$$のとき　→　$${y=\frac{1}{3}}$$

それでは、$${x=0}$$ のときはどうなるでしょう。グラフを見てください。

$${x=0}$$ は存在しないのです。

3. 問題を解くときに気を付けること

0 で割ってはいけないことがわかりましたか？

数式を見たときは、常に 0 の可能性を考えなければいけません。

高校数学の分野でいくつか例を出します。

例えば、

という x の方程式を見たときに、すぐに a≠1 という条件が思いつかなければいけません。

例えば、

としてはいけません。

x でくくらなければいけません。

0 の可能性は常に意識しましょう。

こちらのサイトで詳しく説明しています。
ぜひチェックしてみてください。

【数学雑学】２＝１の証明（０で割れない理由） - 学校よりわかりやすいサイト