理一の数学事始め

静かな数学の世界をゆっくり巡る遊子です。 数学は、学生の頃の苦い経験が頭を過り敬遠されがちですが、本当はたのしいんですよ。もう一度学び直したい人のためにと始めました。更新:月火木金 YouTubeでは解説動画、ブログ『理一の数学雑談』では雑談を書いています。

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    マガジン

    • シリーズ1~8 中学~高校数学Ⅰ 式の計算と方程式

      数学をはじめる第一歩を踏み出すための内容です。 数学が出来るようになる、分かるようになるには式の計算・方程式ができるようになることです。このような計算の中にも数学的な内容が詰まっています。計算は漢字や英単語のようなものです。これを知らずに本は読めません。

    • 20. 2次方程式・不等式

      1次不等式のように2次不等式も代数的に解くこともできますが、2次不等式の場合は2次関数のグラフを利用する方が断然いいです。関数のグラフを理解していれば特に説明することはないのですが、ここが理解できれば中高の関数は無敵だと思います。

    • 19. 2次関数(高校数学Ⅰ)

      高校数学Ⅰの2次関数の話です。平方完成とグラフについて話をします。これが理解できれば、数学Ⅰの2次関数はやさしく感じます。 シリーズ15から18までの知識が応用できれば、受験にも対応できます。

    • 18. 関数と図形と方程式 (中3数学) の話

      "1次関数, 2次関数" と"直線図形, 放物線" を混ぜたらどうなるかという話です。この2つを結び付けるのが方程式で、座標の発見が生み出した世界を中学数学の範囲で話してみたいと思います。一部高校数学で学ぶことを含むかもしれませんが、授業時間数が多かった頃は中学数学で学んでいたものです。

    • 17. 2次関数 y=ax^2 の話(中3数学)

      中3数学で学ぶ2次関数の紹介で、関数やグラフについて説明します。高校数学Ⅰで学ぶ2次関数の基礎になります。定義域を制限したり、最大値・最小値も考えます。

    最近の記事

    26.01 図形と方程式(座標と2点間の距離)

    シリーズ26 は座標を用いて平面図形を扱っていきます。 特に、直線の方程式・円の方程式について話をします。平面図形を扱うので既習の図形の知識は前提になります。図形の知識を使うときには確認をするつもりなので身構える必要はありません。 直線と円が扱えるということは作図が出来ることなので、平面図形の話が座標を使って捉え直せるということです。この延長には現代数学「微分幾何」「代数幾何」があります。これらを理解するにはまだまだ知識は足りませんが、第一歩を踏み出したことになります。 ま

      • マガジン1の内容と計算の修得について

        主に中学数学~高校数学Ⅰの式の計算と方程式で構成されています。これに加えて「数学基礎用語」を最後に挿入しました。 シリーズ1 プラス・マイナスの計算 シリーズ2 文字と式の約束(中学数学1) シリーズ3 1次方程式の解法(中学数学1) シリーズ4 多項式の計算と展開・因数分解(中学数学2~高校数学Ⅰ) シリーズ5 因数分解による2次方程式の解法(中学数学3~高校数学Ⅰ) シリーズ6 ルート計算(中学数学3~高校数学Ⅰ 絶対値も含む) シリーズ7 2次方程式の解法(平方完成と

        • 25.21 高次方程式(根と係数の関係 演習)

          1⃣ $${-3, \: 1, \: 2}$$ を解とし、最高次の係数が2である $${x}$$ の3次方程式を求めよ。 2⃣ $${-\sqrt{2}, \: \sqrt{2}}$$ のそれぞれを2重根とする最高次の係数が1である $${x}$$ の4次方程式を求めよ。 3⃣ 3次方程式 $${x^3-x^2-x-m=0}$$ の3つの根が $${2, \: \alpha, \: \beta}$$ であるとき、次の値を求めよ。 (1) $${m}$$   (2) $${

          • 25.20 高次方程式(再び 根と係数の関係とその原理)

            2次方程式の根と係数の関係は 2次方程式 $${ax^2+bx+c=0 \: (a, \: b, \: c \in \mathbb{R})}$$ の2つの根を $${\alpha, \: \beta}$$ とすると次が成り立つ:         $${\alpha+\beta=-\dfrac{\:b\:}{a}, \: \alpha\cdot\beta=\dfrac{\:c\:}{a}}$$. ・・・(♪) というものでした。 このことは、いま持っている知識を用いればか

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          • 19. 2次関数(高校数学Ⅰ)
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          • 18. 関数と図形と方程式 (中3数学) の話
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          • 17. 2次関数 y=ax^2 の話(中3数学)
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          • 16. グラフと方程式・不等式
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            25.19 高次方程式(演習)

            1⃣ 多項式 $${P(x)}$$ を $${(x-1)(x-2)}$$ で割ると $${3x-5}$$ 余り、$${(x-1)(x+2)}$$ で割ると $${-5x+3}$$ 余る。このとき、$${P(x)}$$ を $${(x-2)(x+2)}$$ で割ったときの余りを求めよ。 2⃣ 多項式 $${x^3+x^2+ax+b}$$ が $${(x-1)^2}$$ で割り切れるとき、実数 $${a, \: b}$$ の値を求めよ。 3⃣ 多項式 $${P(x)}$$ を

            25.18 高次方程式(割り算の定理と剰余の定理の利用2)

            問題 多項式 $${x^3+ax+b}$$ を $${(x+1)(x-3)}$$ で割った余りが $${3x-2}$$ であるとき、定数 $${a, \: b}$$ の値を求めよ。 少なくとも3通りの解法が考えられます。 方法1 割り算の話なので、商を $${Q}$$ とすると         $${x^3+ax+b=(x+1)(x-3)Q+(3x-2)}$$ と書けます。求めたいのが $${a, \: b}$$ の値なので、$${x}$$ に $${-1, \: 3}$$

            25.17 高次方程式(割り算の定理と剰余の定理の利用)

            次の問題をどのように考えて解きますか。 問題 多項式 $${x^3+ax^2+3x-2a}$$ を1次式 $${x-2}$$ で割った余りが 12 であるとき、定数 $${a}$$ の値を求めよ。 考え方1 問題文通り、割り算を実行してみると したがって、余り $${2a+14}$$ が 12 であればよいので              $${2a+14=12}$$,               $${a=-1}$$. 考え方2 剰余の定理から、$${P:=x^3+ax

            25.16 高次方程式(多項式の割り算と式の値)

            今回紹介するのは、はじめて知った受験数学のテクニックです。休み時間に友だちから教えてもらったものです。 問題 $${x=1-\sqrt{3\:}\: i}$$ のとき、$${x^3-4x^2+8x+3}$$ の値を求めよ。 直接代入して求めることも出来ますが、次の手順で求められます。 手順1 $${x^2-2x+4=0}$$ を導く 手順2 $${x^3-4x^2+8x+3}$$ を $${x^2-2x+4=0}$$ で割り、$${A=BQ+R}$$ の形で表す 手順3 $

            25.15 高次方程式(共役な複素数と方程式の根)

            前回は、実数係数の方程式が複素数 $${\alpha}$$ を根に持つなら、それと共役な複素数 $${\bar\alpha}$$ も根に持つことを証明しました。これを踏まえると次の問題をかんたんに解くことが出来ます。 例 3次方程式 $${x^3+ax+b=0}$$ の1つの解が $${1+i}$$ であるとき、実数 $${a, \: b}$$ および他の解を求めよ。 解説 上の知識を知らない場合は、$${1+i}$$ が解であることから与えられた3次方程式に代入し (実部

            25.14 高次方程式(共役な複素数の性質)

            復習(思い出しましょう) 複素数 $${a+bi \: (a, \: b \in \mathbb{R})}$$ に対して $${a-bi}$$ を共役な複素数といい   $${(a+bi)+(a-bi)=2a \in \mathbb{R}, \quad (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 \in \mathbb{R}}$$ が成り立ちます。後者の性質を利用して複素数の割り算 (商) の計算をしました。 例 $${\dfrac{3i}{\:2-i\:}=\dfrac{3i

            25.13 高次方程式(因数定理の利用)

            前回話したように、複素数まで数を拡張すると多項式は必ず1次式の積で表すことができます。これを踏まえて話を進めます。 例1 2次方程式 $${x^2+ax+5=0}$$ が $${1}$$ を根にもつとき、実数定数 $${a}$$ の値およびその他の根を求めよ。 みなさんはどのように考えて解きますか。少なくとも3通りの解き方が思いつきます。 1つ目 $${1}$$ を根(解)にもつので、これを与えられた方程式に代入して             $${1^2+a\cdot 1

            25.12 高次方程式(代数学の基本定理と根と解)

            数の概念は自然数、整数、有理数 (分数)、実数、複素数と拡張されてきました。さらに複素数を拡張することもできます(※1)が、代数方程式を解く上では複素数までで十分です。これは C.F.Gauss (ガウス) の功績によるもので、代数学の基本定理と呼ばれています。代数学の基本定理にはいろいろな表現がありますが、次が分かりやすいと思います:   代数学の基本定理 n次代数方程式はちょうどn個の根を持つ。▮ 根と解 について 多項式 $${P}$$ において $${P(a)=0

            25.11 高次方程式(因数分解と方程式 演習)

            1⃣ 次の方程式を解け。 (1)$${x^6+7x^3-8=0}$$ (2)$${(x-3)(x-1)(x+1)=48}$$ (3)$${x^4-4x^3+7x^2-8x+4=0}$$ 2⃣ 次式を ( ) 内の範囲で因数分解せよ。 (1)$${x^3-(2a-1)x^2-2(a-1)x+2}$$(有理数) (2)$${a^3+b^3+c^3-3abc}$$(複素数) 1⃣の答え (1) $${-2, \: 1, \: -2\omega, \: \omega, \: -2

            25.10 高次方程式(特殊な解法②相反方程式)

            特殊な方程式の解き方の紹介です。 例1 方程式 $${x^4+5x^3-4x^2+5x+1=0}$$ を解いてみます。 因数定理で解こうとすると、定数項が1なので $${\pm 1}$$ を左辺に代入してみますが0になりません。したがって有理数の範囲で1次の因数を持たないことが分かります。 そこで次のように考えて解きます。 手順1 $${x=0}$$ は方程式の根ではないので、与えられた方程式の両辺を $${x^2}$$ で割る。         $${x^2+5x-4+\

            25.09 高次方程式(特殊な解法①)

            例1 方程式 $${x(x+1)(x+2)=2・3・4}$$ を解け。 解答解説 左辺を展開し整理して3次方程式を解くのが自然だと思います。ですが、このような表現をしているときというのは何かあるものです。 問題の左辺は $${x, \: x+1, \: x+2}$$ と差が1で増えています。右辺は 2, 3, 4 と1ずつ増えているので解が1つ見つかりましたね。 $${x=2}$$ が解なので $${x(x+1)(x+2)-2・3・4}$$ は $${x-2}$$ を因数に

            25.08 高次方程式(ωと式の値)

            ω (オメガ) の話は3回目ですが、ギリシャ文字でもあるし特殊な性質を持っているので、今回も確認してから話を進めます。 ω の性質 方程式 $${x^3=1}$$ の虚数根の1つを $${\omega}$$ とすると次が成り立つ:         $${\omega^3=1, \: \omega^2+\omega+1=0 \:\: (\omega \neq 1)}$$.  さらに 方程式 $${x^3=1}$$ の3つの根 $${1, \: \omega, \: \omeg