理一の数学事始め

静かな数学の世界をゆっくり巡る遊子です。数学は、学生の頃の苦い経験が頭を過り敬遠されが…

理一の数学事始め

静かな数学の世界をゆっくり巡る遊子です。数学は、学生の頃の苦い経験が頭を過り敬遠されがちですが、本当はたのしいものです。もう一度学び直したい人のためにと始めました。大学数学で躓いている場合は、中高数学を理解せず、暗記に頼ってしまったのかもしれません。

  • マガジン５ 図形と方程式, ベクトル、２〇、複〇、数〇

    （工事中）数学的には代数と幾何が結び付き、どんどんおもしろくなります。その一方で、暗記、暗記に頼ってきた人にとっては公式もどんどん増え、悲鳴を上げたくなる分野です。

  • 数学好きでも本は読む

    学而不思則罔。 思而不学則殆。（學びて思はざれはすなわりくらし。思ひて學ばざればすなわちあやうし。） 読書はこれに加えて、たのしむものですね。哲学、歴史もおもしろいけれど、小説もおもしろい。もちろん、数学はもっとおもしろい。

  • マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分

    中学数学と高校数学の違いが明確になるのはここからです。これまで学んだ多くの知識を踏まえて話が展開するので理解するのは容易くありません。でも必要な知識を補いながら進めば、理解不足の部分がどこなのかも判るので知識を見直すこともできます。そうなるように知識の確認をしながら話を進めていきます。以前に学んだ知識が不足していると感じたら、無理に先に進まず戻ることも大切です。一回読んだだけで理解できるのは超理想で、実際は何度か繰り返すうちに理解がだんだん深くなり定着していくものです。

  • マガジン３ 関数をはじめから学ぶ　中学から高校数学Ⅰまで

    関数を１から知るためのものです。中学数学の内容であっても、高校、大学の数学を見据えて書きました。中学生には難しい内容ですが、高校数学を一度でも触れたことのある人にとっては理解が深まるはずです。

  • マガジン４ 二項定理、方程式、証明、場合の数（高校数学）

    マガジン１は高校数学Ⅰまでの内容です。このマガジンはより高度な数学をする上での道具を紹介しています。３次以上の展開･因数分解、数学的帰納法もここで紹介しています。組合せ記号は大学以降と同じ記号を使っています。

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31.22 ベクトルの初歩（空間内の数ベクトル）

空間内の数ベクトルの話をする前に、前回の空間座標を確認したいので、次の質問に答えてください。思い出すことが目的でもあるので気にせず答えてみてください。 　　　　　問１　空間座標を書いてください。 　　　　　問２　空間座標に点$${(2,1, 3)}$$を取ってください。 書けましたか。自信がない場合は、前回の 31.21 を確認してください。 ※ 問の答えは少し下に出てきます。 数ベクトル空間座標内に点Ｐを取れば、点の位置 (座標) が決まると同時に、ベクトル$${

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    • 31.21 ベクトルの初歩（準備 座標空間）

      空間内の数ベクトルを扱うための準備です。座標空間が書けることと、座標空間内に点が取れることが目標です。 座標空間平面上の点を表す１つの方法が座標平面というものでした。平面上に直交する２直線を引き、その交点をOと名付け、その点Oを原点と呼びました。 このとき、一方を横軸、もう一方を縦軸とし、原点を基準に右側をプラス、左側をマイナス、上側をプラス、下側をマイナスとします。これによって平面上の点を横の目盛りと縦の目盛りの順に２数の組で表し、これを座標と呼び、特に、横の目盛りを$$

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      • 31.20 ベクトルの初歩（数ベクトルの内積の基本演習）

        数ベクトルの内積の基本的な使い方を確認するための問題です。 基本演習1⃣　次の２つの数ベクトルが垂直となるように、$${x}$$の値を定めよ。 　(1) $${\vec{a}=(6, \: 2), \: \vec{b}=(x, \: 9)}$$　　　　(2) $${\vec{a}=(x, -1), \: \vec{b}=(x, \: x+2)}$$ 2⃣ (1) ２つのベクトル$${\vec{a}=(a_1, \: a_2), \: \vec{b}=(a_2, -a

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        • 旅とルイルイと歴史探訪

          『家康、江戸を建てる』 旅、たのしいですよね。特に、一人旅。寅さんのようには行きませんが、目的をもっての歴史探訪。私の場合は墓参りが多いように思います。例えば、 京都なら哲学の道(西田幾多郎)、壬生寺(新選組)、本能寺跡(信長)、東山霊山墓地(幕末)、京都駅(四葉)、伏見稲荷(スクールウォーズ)、油小路(新選組)･･･ 東京なら洗足池(勝麟太郎)、泉岳寺(四十七士)、清澄白河(小池重明)、柴又(寅さん)、日野市石田寺(土方歳三)、板橋(近藤勇)、武道館(大きな玉葱の下で

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        31.22 ベクトルの初歩（空間内の数ベクトル）

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        マガジン

        • マガジン５ 図形と方程式, ベクトル、２〇、複〇、数〇
          75本
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        • 数学好きでも本は読む
          18本
        • マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分
          99本
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        • マガジン３ 関数をはじめから学ぶ　中学から高校数学Ⅰまで
          109本
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        • マガジン４ 二項定理、方程式、証明、場合の数（高校数学）
          116本
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        • マガジン２ 三角比を含む平面幾何の話
          132本
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        記事

          31.19 ベクトルの初歩（数ベクトルの内積）

          数ベクトルの内積２つの数ベクトル$${\vec{a}=(a_1, \: a_2), \: \vec{b}=(b_1, \: b_2)}$$に対して $${\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2}$$ が成り立ちます。 注意：高校数学の教科書と流れが異なります。 この数学事始めでは、次の内積の性質 　　　　　　③$${(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cd

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          31.19 ベクトルの初歩（数ベクトルの内積）

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          31.18 ベクトルの初歩（数ベクトルの基本演習）

          数ベクトルの理解を深める問題です。数ベクトルであっても、表現の仕方が異なるだけで、これまで学んできた幾何ベクトルと同じベクトルです。このことを理解しているかを確認します。 基本演習1⃣　$${\vec{a}=(2, -3), \: \vec{b}=(-1, \: 2)}$$のとき 　　　$${3(2\vec{a}-6\vec{b})-5(\vec{a}-4\vec{b})}$$ を計算せよ。 2⃣　$${\vec{a}=(1, \: 2), \: \vec{b}=(1,

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          31.18 ベクトルの初歩（数ベクトルの基本演習）

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          31.17 ベクトルの初歩（数ベクトルの成分計算）

          幾何ベクトルには和と実数倍が定義されていました。数ベクトルの場合はそれがどのようになるかという話をします。 ベクトルの成分計算理屈を後回しにして、成分表示されたベクトルについての計算方法から始めます。否、先に理屈が知りたいという人は、上の目次の「数ベクトルの性質について」をクリックして飛んでください。 数ベクトルの性質 $${\vec{a}=(a_1, a_2), \: \vec{b}=(b_1, b_2)}$$について次が成り立つ： 　　(1) $${\vec{a}=

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          31.16 ベクトルの初歩（数ベクトル 導入）

          これまでは幾何ベクトルを扱っていたので、平面上または空間内を特に区別することなく扱ってきました。 ここからは数ベクトルを扱うので、平面上と空間内に分けて話を進めます。 分けて話す理由 あなたは机上で数学をたのしんでいます。机上にある消しゴムはあなたから見てどの位置にありますか。もしもノートに横軸と縦軸が書かれていれば、消しゴムの位置は横縦を用いて表せます。横軸縦軸が書いていない場合なら自分の位置から消しゴムまでの距離および方角で位置を表せます。 どちらの場合も情報は２つです

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          31.15 ベクトルの初歩（内積の利用 演習）

          基本を確認するための演習です。自力で解けるかどうかが問題であり、早く解けることではありません。時間を掛けてでも自力で解けたのなら、それは実力です。自信を持ってください。 1⃣～5⃣は証明問題です。6⃣は唯一証明ではありません。5⃣と6⃣は歯ごたえのある問題ですが、基本的な知識と計算力があれば解けます。 基本演習1⃣　AB=ACである二等辺三角形ABCの頂点Aと底辺BCの中点Mを結ぶ中線AMは、底辺BCに垂直である。このことをベクトルを用いて証明せよ。 2⃣　三角形△ABC

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          31.14 ベクトルの初歩（内積の利用 図形の証明）

          内積を利用しての図形の証明を紹介します。 ※ ベクトルは平面上または空間内です。 例１（長さに関する証明） 三角形△ABCにおいて、BCの中点をMとする。このとき、次の等式が成り立ちます。（中線定理 または パップスの定理） ※ この定理については、平面の幾何および図形と方程式でも扱いました。 幾何にとって大切な定理をベクトルを用いて証明してみます。 このとき平面図形なので、平行でない２つのベクトルを考えます。 その２つのベクトルを考えるために基準とする点を定める

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          夏だからこそ、こんな本も！

          夏祭りの屋台では、いろいろな味のたのしめるソースせんべいが売られているようですが、可能性豊かな、素のえびせんが好みです。 さて、身体を焦がすように痛い夏の陽射しを避け、こんな本は如何ですか。 この夏、何を読むかは決まっていますか。 大学生なら夏の課題図書として、指導教官が指定しているかもしれません。そうでなくても大学の図書館で教授からの推薦図書を紹介していることと思います。 学生でないのなら、読む系統もだいたい決まっていると思いますが、夏だからこそ、ふだんは手にしない

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          31.13 ベクトルの初歩（内積の利用 面積）

          ※ 例２を加筆しました。加筆内容は、三角形の３辺の長さが与えられているときのもう１つの内積の導き方です。(2024.8.23) 内積を導入したことで面積も求められるようになりました。 ※ これまで通り、ベクトルは平面上または空間内です。 三角形の面積例１で三角形の面積公式を導き、例２で立体図形に利用してみます。 ※ 三角形の面積が求められるということは、四角形はもちろんのこと、多角形の面積も求められるということです。 例１（三角形の面積公式） 三角形△ABCの面積

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          31.12 ベクトルの初歩（内積の基本演習）

          内積の定義、内積の性質が覚えられたのなら、基本が理解できているかを確認し、さらに理解を深めましょう。そのための問題を用意しました。 それぞれ３～５分は考えてみてください。考えるということは思い出すことでもあるので、脳にはよい刺戟になっています。いずれも基本を思い出せば解けなくはないと思いますが、4⃣は少し難しいかもしれません。 １問でも自力で解ければそれはご自身の力です。たとえ１時間でも２時間でも、断続的に数日考えて解けてもそれは変わりません。早く解けたから、時間が掛かっ

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          疑惑の始まり

          　　　　　　　　　　　　柴田哲孝 著『暗殺』 疑惑のはじまりは孫崎享氏の話でした。 昨年４月に岩上安身氏のIWJ(2023.4.10)と時事放談(2023.4.17)が配信されたのです。最初は疑惑の銃弾ということでJFK暗殺を連想しました。１週間後には問題点を指摘するような本を書いてくれないかなと思っていました。どちらの配信動画でもその繋がりでウクライナとプーチンの話になりました。 このことをすっかり忘れていた頃に、深田萌絵氏(2024.6.26)が『暗殺』を紹介したので

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          31.11 ベクトルの初歩（内積の性質とその利用）

          計量するために内積を導入しました。けれども、内積を使いこなすにはその性質を知らなければなりません。 今回の目標は、内積の性質を使って計算ができるようになることです。 練習問題までがこれに当たります。練習問題の次からは、高校数学や受験数学で扱われますが、少し難しい内容になっています。 想定するベクトルは、これまで通り、平面上または空間内のベクトルです。 内積の性質を紹介するために、まずはベクトルの長さ (大きさ) に関する性質を紹介します。 ベクトルの長さの性質について

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          31.10 ベクトルの初歩（内積の目的と定義）

          これまでは、長さ、角の大きさ、面積、体積を測ること（計量）をしませんでした。長さについては触れていますが、比として使っただけで長さを測ることはしてません。 では、その長さや角の大きさを測るのにはどうすればいいのか。そのための準備をします。 なお、三角比や弧度法を忘れてしまった場合は、三角比の話または三角関数をご覧ください。 計量する (測る) ために内積というものを導入します。このように理解しておくと、長さ、角の大きさなどを求めたいときに、「内積が使えないかなあ」という考え

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