31.13 ベクトルの初歩（内積の利用 面積）

※ 例２を加筆しました。加筆内容は、三角形の３辺の長さが与えられているときのもう１つの内積の導き方です。(2024.8.23)

内積を導入したことで面積も求められるようになりました。

※ これまで通り、ベクトルは平面上または空間内です。

三角形の面積

例１で三角形の面積公式を導き、例２で立体図形に利用してみます。

※ 三角形の面積が求められるということは、四角形はもちろんのこと、多角形の面積も求められるということです。

例１（三角形の面積公式）

三角形△ABCの面積Ｓは次式で求められます。

　　　　　　　　$${\text{S}=\dfrac{1}{\:2\:}\sqrt{\:|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})^2\:}}$$

これが正しいか否かを確認します。上の式を変形することで、三角形の面積を表していることを確かめることもできますが、三角形の面積を求める方法で導いてみることにします。

問　三角形の面積公式をいえ。