【t分布の概要📊】正規分布とt分布は何が異なっているのか??：統計学2

2024年3月12日 15:36

今回は、統計学：t分布について学習します📝

t分布は、母標準偏差が未知で、観測値が正規母集団から得られた場合の、母平均に対する標本平均の標準化された距離を表しています✨

計量経済学やデータ分析において、とても大切な知識になりますので、しっかりインプットしておきたい内容ですね

データと正しく向き合うために🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦

現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

なお、前回のお復習いはこちらからご確認ください💗

それでは、私がこれからアウトプットする
データ分析の基礎となる計量経済学・統計学の知識についてどうぞ最後まで、ご愛読ください📖

t分布の有用な特性💛

t分布は、母標準偏差が未知で、観測値が正規母集団から得られた場合の、母平均に対する標本平均の標準化された距離を表します📝

以下では、t分布の有用な特性と、なぜそれが分析において重要なのかについて考察します✨

まずt分布は、正規分布と同様になめらかな形状をしています
そして、標準的な正規分布（またはz分布）と同様に、平均値がゼロとなります
しかし、正規分布と異なる点は、母集団の標準偏差が既知であることを前提にしていないことです

そして、t分布は自由度によって定義され、標本サイズが小さい場合や、母標準偏差がわからない場合、またはその両方の場合に最も有効となります📝

https://www.investopedia.com/terms/t/tdistribution.asp

また上の図より、標本サイズが大きくなるとt分布は正規分布に禁じすることができるのです📝

母分散$${σ}$$が既知の場合、n個の標本から計算した標本平均$${\bar x_n}$$を標準化した確率変数$${z}$$は、(1)式のように与えられ、これは正規分布に従います

$$
\\z=\frac{\bar x_n -\mu}{\sigma /\sqrt{n}} \backsim N(\mu ,\sigma^2) \cdots(1)
$$

しかし、母分散が既知ではなく、標本分散を用いる場合には以下(2)式のようになります

$$
\\t =\frac{\bar x_n -\mu}{S/ \sqrt{n}} \cdots(2)
$$

これは、分母と分子に確率変数が入っているため、正規分布には従いません…

ここで、1つ定理を示しておきます
$${x}$$を平均0、分散1の正規分布に従う確率変数とし、$${y}$$を自由度$${m}$$のχ2分布に従う確率変数とします

もし両者が相互に統計的に独立であれば、以下に示す統計量(3)は、自由度$${m}$$のスチューデントのt分布に従うことになります

$$
\\t =\frac{x}{y/m} \cdots (3)
$$

また、$${(n-1)S^2 / \sigma^2}$$が自由度$${n-1}$$のχ2分布に従いますので、以下のように示される統計量は、自由度$${m}$$のスチューデントのt分布に従うことになるのです📝

$$
\\\frac{\frac{\bar x_n -\mu}{\sigma \sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/(n-1)}}= \frac{\bar x_n -\mu}{S/ \sqrt{n}}
$$

また、t分布についての詳細は以下のリンクからご確認ください📝

本日の解説はここまでとします🔖
データ分析の基礎となる統計学の知識をベースに、計量経済学やその他考察のレベルを上げていきたいと思います✨

なお、本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです
1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます
これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読ください💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！

この記事が参加している募集

退職エントリ

2,457件

入社エントリ

2,801件

この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？