【χ2分布の基礎🍀】どのような検定をしたいのか?で用いる分布が異なる📝：統計学 No.3

2024年1月31日 16:59

今回は、統計学：カイ自乗（χ2）分布について学んでいきます💖

カイ自乗分布は、母分散の区間推定や適合度の検定、そして独立性の検定を行う際に良く使われます！

どの分布をいつ使用するのか、しっかりインプットすることがデータ分析において大切なように思います📝

データ分析に必要不可欠な統計学📊

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦

現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

なお、前回のお復習いはこちらからご確認ください💗

それでは、私がこれからアウトプットする
データ分析の基礎となる計量経済学・統計学の知識についてどうぞ最後まで、ご愛読ください📖

カイ自乗分布(χ2)の性質💖

今回は、カイ自乗分布について考えます✨
カイ自乗分布は、母分散の区間推定や適合度の検定、そして独立性の検定を行う際に使われることが多いです📝

まずは、以下の定理から確認しておきます

$${x_1,x_2,\cdots,x_m}$$を相互に独立に正規分布$${N(\mu,\sigma^2)}$$に従って分布する$${m}$$個の確率変数とするとき、(1)式のように定義される統計量は、自由度$${m}$$のχ2分布((chi-square distribution with m degrees of freedom) に従って分布します

$$
\\\chi^2 =\displaystyle\sum_{i=1}^m(\frac{x_i-\mu}{\sigma})^2\cdots (1)
$$

このようにカイ自乗分布は、母分散が既知の時に正規分布する母集団について、そこから抽出した標本の分散がどのような分布を示すかを表していると考えることができます

また、カイ自乗分布は自由度だけで決定し，母分散の値$${σ^2}$$は関与していないことがポイントですね📝

また標準正規確率変数の分散は1であるため、χ2分布の平均は$${m}$$となり、分散は$${m^2}$$となります！

ここで、正規母集団から得たサンプルサイズが$${n}$$の標本があったとします
すると、標本分散は(2)式のように定義されます

$$
\\S^2 =\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^m(x_i-\bar x)^2\cdots (2)
$$

この標本分散$${S^2}$$も統計量であることがわかります📝

この標本分散の分布に関しても、次のような定理が存在しています！

$${N(\mu,\sigma^2)}$$から得た無作為標本を$${x_1,x_2,\cdots,x_m}$$としたとき、以下の(3)式の統計量$${Y}$$は自由度が$${n-1}$$のχ2分布に従って分布するというものです

$$
\\Y=\frac{1}{\sigma^2}\displaystyle\sum_{i=1}^m(x_i-\bar x)^2\cdots (3)
$$

すると、標本分散$${S^2}$$が$${a}$$と$${b}$$の範囲に入る確率は、σが既知の場合に、以下のように与えられます📝

$$
\\Prob(\{a \le S^2 \le b\})\\ \\=Prob(\{\frac{1}{\sigma^2}(n-1)a \le \chi^2 \le \frac{1}{\sigma^2}(n-1)b\cdots (4)
$$

また、$${S^2}$$の期待値は

$$
\\E(S^2)=\frac{1}{n-1}\sigma^2 E(W)=\sigma^2
$$

となり、母分散に一致するという点で不偏推定量となるのです💖

なお、χ2分布について、詳しい性質などを知りたい場合は以下のサイトよりご確認ください✨

本日の解説はここまでとします🔖
データ分析の基礎となる統計学の知識をベースに、計量経済学やその他考察のレベルを上げていきたいと思います✨

なお、本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです
1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます
これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読ください💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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