【中心極限定理🔥】標本理論と正規分布について💛：統計学 No.2

2024年1月15日 15:55

今回は、統計学「標本理論と正規分布」そして「中心極限定理」について簡単に学んでいきましょう✨

統計データを分析する際に、より多くのサンプルを用いることができれば、その分より精度の高い結果を得ることができるのではないでしょうか？？

このようなことを想起させてくれるのが、今回の投稿で学ぶ中心極限定理ではないかと思います✨

統計学こそ必要な学門🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦

現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました
これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

なお、前回のお復習いはこちらからご確認ください💗

それでは、私がこれからアウトプットする
データ分析の基礎となる計量経済学・統計学の知識についてどうぞ最後まで、ご愛読ください📖

基礎的な標本理論📑

まずは、標本抽出について考えます！

無限母集団からの無作為抽出と有限母集団からの無作為復元抽出のケースでの標本平均の平均と分散は、以下のようになります。

$$
\\\mu_{\bar x}=\mu \cdots (1)\\ \\\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\cdots(2)
$$

また、統計量の標準偏差のことを標準誤差(standard error)と呼びます！
したがって、$${\sigma_{\bar x}}$$は標本平均の標準誤差となります。

正規分布(normal distribution)について🌈

正規分布(normal distribution)は、連続確率分布の一つで、密度関数が以下のように表記されます📝

すなわち、連続型確率変数$${X}$$が以下のような確率密度関数をもつとき

$$
\\Normal Distribution\\ \\ \\f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp [-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma}})^2 ] -∞< x < ∞
$$

$${X}$$は正規分布に従うと言います📝
ただし、$${\mu}$$は平均であり、$${\sigma^2}$$は分散です。

そして、平均$${\mu}$$、分散$${\sigma^2}$$の正規分布を$${N(\mu,\sigma^2)$$と表し、確率変数$${X}$$が正規分布$${N(\mu,\sigma^2)$$に従うことを$$X \backsim {N(\mu,\sigma^2)$$と表します✨

ここで、確率変数の標準化の式である

$$
\\z=\frac{x-\mu}{\sigma}
$$

を用いると、平均$${\mu}$$、分散$${\sigma^2}$$の正規分布を、平均0、分散1の標準正規分布に変換することができ、標準正規分布表を用いることができます

そして、標準正規分布の密度関数は、以下のように定式化されます

$$
\\f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{t^2}{2})
$$

また、正規分布に従う確率変数の線形結合は、正規分布に従います！
たとえば、以下のような2つの確率変数を想定しましょう！

$$
\\X_1\backsim N(\mu_1,\sigma_1^2), X_2 \backsim N(\mu_2,\sigma_2^2)
$$

のとき、以下のような式が成立しています📝

$$
\\aX_1+bX_2\\ \backsim N(a\mu_1±b \mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2±2abCov(X_1,X_2))
$$

ただし、$${a,b}$$は定数となります。

中心極限定理✨

中心極限定理とは「標本を抽出する母集団が平均$${\mu}$$、分散$${\sigma^2}$$の正規分布に従う場合においても、従わない場合においても、抽出するサンプルサイズ$${n}$$が大きくなるにつれて、標本平均の分布は「平均$${\mu}$$、分散$${\sigma^2}$$」の正規分布$${N(\mu,sigma^2/n)}$$ に近づく」というものです📝

加えて、平均$${μ}$$、分散$${σ_2}$$の無限母集団より無作為に抽出した大きさ$${n}$$の標本の標本平均を$${\bar {x}_n}$$とします

そして、ここで

$$
\\z_n=\frac{{\bar {x}_n}-\mu}{\sigma/\sqrt n}
$$

とするとき、$${z_n}$$の分布は、サンプルサイズ$${n}$$が大きくなるとともに、標準正規分布$${N(0,1)}$$に限りなく近づく、ということも、中心極限定理のインプリケーションとなることを覚えておいてください📝

本日の解説はここまでとします🔖
データ分析の基礎となる統計学の知識をベースに、計量経済学やその他考察のレベルを上げていきたいと思います✨

なお、本投稿作成における参考文献は以下の通りです

なぜ、計量経済学を学ぶのか？？

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです
1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝
また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます
これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります
「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

これから私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
どうぞ最後までご愛読ください💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
お気軽にコメント、いいね「スキ」💖
そして、お差し支えなければ
フォロー＆シェアをお願いしたいです👍
今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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