![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/101608625/rectangle_large_type_2_9fe3a1273e1113ebc672c0d92e28f81a.png?width=800)
6-4 和と差の確率変数の性質 ~ 2変量正規分布を3次元グラフにして動かす
今回の統計トピック
2変量正規分布に挑戦します!
グラフは3次元・立体です!
EXCELとPython の立体表現をご堪能ください。
![](https://assets.st-note.com/img/1688555561550-NDu5yY02PJ.png)
公式問題集の準備
「公式問題集」の問題を利用します。お手元に公式問題集をご用意ください。
公式問題集が無い場合もご安心ください!
「知る」「実践する」の章で、のんびり統計をお楽しみください!
問題を解く
📘公式問題集のカテゴリ
標本分布の分野
問4 和と差の確率変数の性質(データなし)
試験実施年月
統計検定2級 2017年6月 問9(回答番号20)
問題
公式問題集をご参照ください。
解き方
題意
正規分布に従う独立の確率変数$${X,\ Y}$$の和と差$${X+Y, \ X-Y}$$について、同時分布である「2変量正規分布」と周辺分布に関する知識を確認する問題です。
・確率変数$${X}$$と$${Y}$$は互いに独立です。
・確率変数$${X}$$は正規分布$${N(0, \sigma^2_1),\ \sigma^2_1 >0}$$に従います。
・確率変数$${Y}$$は正規分布$${N(0, \sigma^2_2),\ \sigma^2_2 >0}$$に従います。
・$${U=X+Y,\ V=X-Y}$$は確率変数です。
・確率変数$${U,\ V}$$の期待値・分散・相関係数を式展開して解答します。
2変量正規分布
確率変数$${X}$$は正規分布$${N(0, \sigma^2_1)}$$に従い、確率変数$${Y}$$は正規分布$${N(0, \sigma^2_2)}$$に従います。
この正規分布のパラメータより、確率変数$${X}$$の期待値$${E[X]=0}$$、分散$${V[X]=\sigma^2_1}$$、確率変数$${Y}$$の期待値$${E[Y]=0}$$、分散$${V[Y]=\sigma^2_2}$$です。
$${U=X+Y}$$、$${V=X-Y}$$も確率変数であり、正規分布に従う確率変数$${U,\ V}$$の同時分布は2変量正規分布になります。
$${U,\ V}$$の2変量正規分布の相関係数が0のとき、$${U,\ V}$$は独立です。
2変量正規分布のグラフは「知る」の章で紹介いたします!
![](https://assets.st-note.com/img/1680183028484-2i2FxvJQ4p.png)
期待値・分散・共分散の公式を用いて計算
公式に当てはめてさくさく計算しましょう。
計算式が続きます。何卒何卒~。
![](https://assets.st-note.com/img/1688555772039-MWUs4RiKu2.png)
①$${\boldsymbol{U,\ V}}$$の平均(期待値)の計算(問題Ⅰ・Ⅲ関係)
■確率変数$${X, Y}$$の線形結合$${aX+bY+c}$$の公式
期待値$${E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c}$$
公式に$${U=X+Y}$$、$${V=X-Y}$$、$${E[X]=E[Y]=0}$$を当てはめます。
$$
\begin{align*}
E[U]&=E[X+Y]\\
&=E[1X+1Y] \\
&=1E[X]+1E[Y]\\
&=E[X]+E[Y] \\
&=0+0\\
&=0\\
\\
E[V]&=E[X-Y]\\
&=E[1X+(-1)Y] \\
&=1E[X]+(-1)E[Y]\\
&=E[X]-E[Y] \\
&=0+0\\
&=0\\
\end{align*}
$$
【問題Ⅰの答え】
確率変数$${U,\ V}$$の平均は両方とも0であり、等しいです。
![](https://assets.st-note.com/img/1679934004909-8i8yvntwM1.png)
②$${\boldsymbol{U,\ V}}$$の分散の計算(問題Ⅱ・Ⅲ関係)
■確率変数$${X, Y}$$が独立のときの公式
$${V[aX+bY+c]=a^2V[X]+b^2V[X]}$$
公式に$${U=X+Y}$$、$${V=X-Y}$$、$${V[X]=\sigma^2_1}$$、$${V[Y]=\sigma^2_2}$$を当てはめます。
$$
\begin{align*}
V[U]&=V[X+Y]\\
&=V[1X+1Y] \\
&=1^2V[X]+1^2V[Y]\\
&=V[X]+V[Y]\\
&=\sigma^2_1+\sigma^2_2\\
\\
V[V]&=V[X-Y]\\
&=V[1X+(-1)Y] \\
&=1^2V[X]+(-1)^2V[Y]\\
&=V[X]+V[Y]\\
&=\sigma^2_1+\sigma^2_2\\
\end{align*}
$$
確率変数$${U,\ V}$$の分散$${V[U],\ V[V]}$$は両方とも$${\sigma^2_1+\sigma^2_2}$$であり、等しいです。
確率変数$${U,\ V}$$の平均(期待値)は$${0}$$、分散は$${\sigma^2_1+\sigma^2_2}$$です。
また、$${U,\ V}$$の周辺分布も正規分布に従います。
つまり、確率変数$${U}$$は正規分布$${N(0, \sigma^2_1+\sigma^2_2)}$$に従い、確率変数$${U}$$も同様に正規分布$${N(0,\ \sigma^2_1+\sigma^2_2)}$$に従います。
【問題Ⅲの答え】
$${ \sigma^2_1+\sigma^2_2}$$の値にかかわらず、$${U,\ V}$$は同じ分布に従うことが分かりました。
![](https://assets.st-note.com/img/1679934044682-1sjMeaLeTf.png)
③$${\boldsymbol{U,\ V}}$$の共分散と相関係数の計算(問題Ⅱ関係)
確率変数$${X, Y, W, Z}$$の変数変換$${U=aX+bW,\ V=cY+dZ}$$
■共分散の分配法則的な公式
$${\mathrm{Cov}[aX+bW,\ cY+dZ]}$$
$${=ac\mathrm{Cov}[X,Y]+ad\mathrm{Cov}[X,Z]+bc\mathrm{Cov}[W,Y]+bd\mathrm{Cov}[W,Z]}$$
公式に$${U=X+Y}$$、$${V=X-Y}$$、$${V[X]=\sigma^2_1}$$、$${V[Y]=\sigma^2_2}$$を当てはめます。
また、1つの確率変数の共分散は分散なので、$${\mathrm{Cov}[X,X]=V[X],\ \mathrm{Cov}[Y,Y]=V[Y]}$$です。
$$
\begin{align*}
\mathrm{Cov}[U,V]&=\mathrm{Cov}[X+Y,X-Y]\\
&=\mathrm{Cov}[1X+1Y, 1X+(-1)Y]\\
&=\mathrm{Cov}[X,X]-\mathrm{Cov}[X,Y]+\mathrm{Cov}[Y,X]-\mathrm{Cov}[Y,Y]\\
&=V[X]-\mathrm{Cov}[X,Y]+\mathrm{Cov}[X,Y]-V[Y]\\
&=V[X]-V[Y]\\
&=\sigma^2_1-\sigma^2_2
\end{align*}
$$
確率変数$${U,\ V}$$の共分散$${\mathrm{Cov}[U,V]}$$は$${\sigma^2_1-\sigma^2_2}$$です。
ちょっと休憩です。
![](https://assets.st-note.com/img/1688556502845-neSCKAVnSl.png)
続いて相関係数$${r[U,V]}$$を求めましょう。
公式に分散$${V[U]=V[V]=\sigma^2_1+\sigma^2_2}$$、共分散$${\mathrm{Cov}[U,V]=\sigma^2_1-\sigma^2_2}$$を当てはめます
■相関係数の公式
相関係数$${r[X,Y]=\cfrac{\mathrm{Cov}[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}}$$
$$
\begin{align*}
r[U,V]&=\cfrac{\mathrm{Cov}[U,V]}{\sqrt{V[U]V[V]}}\\
\\
&=\cfrac{\sigma^2_1-\sigma^2_2}{\sqrt{(\sigma^2_1+\sigma^2_2)\times(\sigma^2_1+\sigma^2_2)}}\\
\\
&=\cfrac{\sigma^2_1-\sigma^2_2}{\sqrt{(\sigma^2_1+\sigma^2_2)^2}}\\
\\
&=\cfrac{\sigma^2_1-\sigma^2_2}{\sigma^2_1+\sigma^2_2}\\
\end{align*}
$$
相関係数が0のとき、2変量正規分布の確率変数$${U,\ V}$$は独立です。
そして、相関係数が0になるのは、次式の分子$${\sigma^2_1-\sigma^2_2=0}$$のときです。
$$
\begin{align*}
r[U,V]&=\cfrac{\sigma^2_1-\sigma^2_2}{\sigma^2_1+\sigma^2_2} \\
\\
0&=\cfrac{\sigma^2_1-\sigma^2_2}{\sigma^2_1+\sigma^2_2} \\
\\
0&=\cfrac{0}{\sigma^2_1+\sigma^2_2}
\end{align*}
$$
これは$${\sigma^2_1=\sigma^2_2}$$のときでもあります。
【問題Ⅱの答え】
$${\sigma^2_1=\sigma^2_2}$$のときのみ、確率変数$${U,\ V}$$は独立です。
![](https://assets.st-note.com/img/1679934255467-9eN02Wb0Eq.png)
解答
⑤ Ⅰ・Ⅱ・Ⅲは正しい です。
難易度 ややむずかしい
・知識:2変量正規分布、変数変換
・計算力:数式組み立て(高)、数式計算(中)
・時間目安:2分
知る
おしながき
公式問題集の問題に接近してみましょう!
今回は、2変量正規分布のイメージを確認しましょう。
難しい数式は抜きにして。
2変量正規分布
📕公式テキスト:2.9.3 2変量正規分布(106ページ~)
2つの確率変数のそれぞれ値とその確率の対応関係を同時確率分布と呼びます。
確率変数$${X=2}$$で$${Y=1}$$のときの確率が◯◯%、みたいな感じです。
2変量正規分布は正規分布に従う2つの確率変数の同時確率分布です。
確率変数が1つの正規分布=平面(2次元)
確率変数が1つ=変数が1つ=変量が1つ=1変量です。
平均$${0}$$、分散$${1}$$の正規分布に従う確率変数$${X}$$と$${Y}$$の確率密度関数のグラフをそれぞれ別個に見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1688556640827-FJXR4No6IW.png?width=800)
よく見るベル型の曲線がそれぞれプロットされます。
横軸が確率変数$${X,\ Y}$$の値、縦軸が確率密度関数の値です。
確率変数の値が1次元です。
シンプルです。
2変量の正規分布=立体(3次元)
ようこそ、2変量正規分布の3次元の世界へ!
正規分布に従う確率変数$${X}$$と$${Y}$$の同時確率密度関数(2変量正規分布)のグラフを見てみましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1680174465983-zMkSIVhkvH.png)
グラフが3次元になりました!
三角コーンみたいです。
お好みの色彩でプロットすると3次元のグラフに親近感を持てるかもです!
![](https://assets.st-note.com/img/1680174548900-o5ll8pdUQi.png)
1変量の正規分布では確率変数が横軸の1次元でした。
2変量の正規分布では底面の2次元が確率変数に相当します。
左側が確率変数$${X}$$の値、右側が確率変数$${Y}$$の値です。
そして高さが$${X}$$と$${Y}$$の同時確率密度関数$${f(x, y)}$$なのです。
そしてそして、立ち上がる両壁にベル型の曲線がまるで影のように描画されています。
これらを周辺分布と呼びます。
![](https://assets.st-note.com/img/1680174697054-jKwg7hZQIX.png)
左側の壁には周辺確率変数$${Y}$$の周辺確率密度関数$${f_y(y)}$$、右側の壁には周辺確率変数$${X}$$の周辺確率密度関数$${f_x(x)}$$をプロットしています。
この2変量正規分布を平面に表すと次のようなグラフになります。
横軸が確率変数$${X}$$、縦軸が確率変数$${Y}$$、「等高線」で同時確率密度関数$${f(x,y)}$$を表しています。
三角コーンを真上から見下ろすような見え方です。
![](https://assets.st-note.com/img/1680174481745-zjZIEXuDoX.png)
2変量の正規分布のパラメータ
1変量の正規分布のパラメータは平均と分散です。
2変量正規分布のパラメータも平均と分散なのですが、確率変数が2つあるので形状が変わります。
平均
確率変数$${X}$$と$${Y}$$それぞれの平均を設定します。
$${\mu= \left( \begin{array}{c} \mu_x \\ \mu_y \end{array} \right) }$$です。
ベクトルです。
分散
確率変数が複数あるので、確率変数どうしの関係性が生じます。
共分散が出現するのです。
$${\Sigma = \left( \begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy}\\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y \end{matrix} \right) }$$です。
$${\sigma^2_x, \sigma^2_y}$$は確率変数$${X, Y}$$のそれぞれの分散、$${\sigma_{xy}}$$は確率変数$${X, Y}$$の間の共分散です。
行列の形状になります。
この行列を分散共分散行列、または、共分散行列と呼びます。
さまざまな平均・共分散行列の2変量正規分布
平均$${\mu= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) }$$、共分散行列$${\Sigma = \left( \begin{matrix} 30 & 0 \\ 0 & 30 \end{matrix} \right) }$$
![](https://assets.st-note.com/img/1680175903228-RtO9bG1qSM.png?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1680176137818-8MUvn06I0k.png)
平均$${\mu= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) }$$、共分散行列$${\Sigma = \left( \begin{matrix} 10 & 0 \\ 10 & 30 \end{matrix} \right) }$$
![](https://assets.st-note.com/img/1680176105920-pUFBhXqUBf.png?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1680176158622-PoDUopbABk.png)
平均$${\mu= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) }$$、共分散行列$${\Sigma = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 30 \end{matrix} \right) }$$
![](https://assets.st-note.com/img/1680176297116-H0TE55miGz.png?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1680176310433-XyoChxzo6x.png)
共分散行列の値が変わることによって、2変量正規分布の形状が平たくなったり、斜めにズレたりしました。
3次元グラフの回転
3次元グラフの視点を変えるにはグラフを回転させます。
PythonとJupyter Notebookがあればマウスでグリグリするだけで、簡単にグラフを回転させてることができます。
Pythonのコードは「Pythonで作成してみよう!」の章で紹介いたします。
![](https://assets.st-note.com/img/1680182932518-qvoagJwzMd.png)
2変量正規分布の同時確率密度関数の公式
$$
f(x,y)=\cfrac{1}{2\pi \sqrt{\sigma^2_x \sigma^2_y (1- \rho^2)}} \exp \left[ -\cfrac{1}{2(1-\rho^2)} \left( \cfrac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x}-2\rho \left( \cfrac{x-\mu_x}{\sigma_x} \right) \left(\cfrac{y-\mu_x}{\sigma_y} \right)+\left( \cfrac{y-\mu_y}{\sigma_y} \right)^2 \right) \right]
$$
2変量正規分布の同時確率密度関数のパラメータは、確率変数$${X}$$の①平均$${\mu_x}$$・②分散$${\sigma^2_x}$$、確率変数$${Y}$$の③平均$${\mu_y}$$・④分散$${\sigma^2_y}$$、$${X,Y}$$の⑤相関係数$${\rho}$$の5つです。
公式問題集の問題では、2変量正規分布の相関係数$${\rho}$$が0のときに2つの確率変数$${X,\ Y}$$が独立である性質を利用しています。
また、確率変数$${X,Y}$$の共分散が$${\sigma_{xy}}$$のとき、相関係数$${\rho=\cfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}}$$です。
実践する
2変量正規分布のグラフを描いてみよう
「知る」の2変量正規分布のグラフを描いてみましょう。
EXCELとPythonを活用して3次元グラフをプロットしましょう。
電卓・手作業で作成してみよう!
「知る」の章の2変量正規分布のグラフを見ていただき、可能であれば手作業で・・・、3次元グラフを描くのは厳しいですよね。。。
EXCEL、Pythonのグラフを見てイメージを膨らましていきましょう!
EXCELで作成してみよう!
データ数が多い場合、やはり手作業では非効率になります。
パソコンを利用して、手早く作表できるようになれば、実務活用がしやすくなるでしょう。
3-D等高線グラフ
3次元用のグラフをプロットしましょう。
![](https://assets.st-note.com/img/1680187098524-KmPBezEGd1.png?width=800)
EXCELには、2変量正規分布の同時確率密度関数を計算する機能がありません。
そこで、次のサイトの情報を利用させていただき、グラフを作ってみましょう。
ご協力ありがとうございます!
まず、サイトの方法で「2変量正規分布の同時確率密度関数の表」を作り、「3-D等高線グラフをプロット」します。
表の作成
「2変量正規分布の同時確率密度関数の公式」をEXCELの計算式で書きます。
パラメータの値を変更して、さまざまな形状のグラフを確認してみてくださいね。
![](https://assets.st-note.com/img/1680187488788-vZ7YBjbEI0.png?width=800)
サンプルファイルの計算式をご活用ください。
式に誤りがないかチェックをしていますが、万が一、ミスがありましたら、すみません。
グラフの作成
グラフに描画する表の範囲を選択して、
メニュー>「挿入」>「グラフ」の右隅の矢印>「グラフの挿入」画面で「3-D等高線」を選択します。
![](https://assets.st-note.com/img/1680188038145-nEiZw0BPVD.png?width=800)
グラフ完成イメージ
![](https://assets.st-note.com/img/1680188075679-iyKsG44xyf.png?width=800)
3次元グラフの回転
「グラフエリアの書式設定」で「3-D回転」の調整ができます。
この例では、「X方向に回転」を上のグラフの「20°」から「40°」に変えました。
グリグリ回して、さまざまな角度から形状を確認してみてください!
![](https://assets.st-note.com/img/1680188198092-uKBqipeMnd.png?width=800)
EXCELサンプルファイルのダウンロード
こちらのリンクからEXCELサンプルファイルをダウンロードできます。
Pythonで作成してみよう!
プログラムコードを読んで、データを流したりデータを変えてみたりして、データを追いかけることで、作表ロジックを把握する方法も効果的でしょう。
サンプルコードを揃えておけば、類似する作表作業を自動化して素早く結果を得ることができます。
今回は、「知る」の章で用いた2変量正規分布のグラフをプロットするPythonコードです。
コード作成にあたっては、次のサイトの情報を参考にさせていただきました。
ありがとうございます!
①インポート
scipy.statsのmultivariate_normalで2変量正規分布の同時確率密度関数の値を取得します。
Axes3Dで3次元グラフを描画します。
import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
②matplotlibのモードの選択
上のインタラクティブモードの設定を利用すると3Dグラフをマウスで回転できます。
なお、Google Colabなどでインタラクティブモードを利用できない場合には、下の非インタラクティブモードをご利用ください。
# インタラクティブモード:マウスで3Dグラフを回転する場合
%matplotlib notebook
# 非インタラクティブモード:Google Colabなど、上記のインタラクティブを使えない場合
# %matplotlib inline
③グラフ描画関数の定義
プロットのコードを繰り返し利用するので関数化しました。
■3次元グラフ
入力パラメータは「平均ベクトルmean_vec」と「共分散行列cov_mtx」です。
multivariate_normal.pdfで2変量正規分布の同時確率密度関数の値を取得します。
plot_surfaceで3次元グラフをプロットします。
2つのcontourで周辺分布の周辺確率密度関数の値(壁のベル型の曲線)をプロットします。
# 2変量正規分布の3次元グラフを描画する関数
def bi_norm_plot(mean_vec, cov_mtx):
# x,y軸の設定
side = np.arange(-20, 20, 0.5)
x, y = np.meshgrid(side, side)
xy = np.dstack((x, y))
# z軸:2変量正規分布の確率密度関数の算出
z = multivariate_normal.pdf(xy, mean_vec, cov_mtx) # x,y軸、平均、分散共分散
# プロット
surfacecolor = 'OrRd' # coolwarm YlOrRd
linecolor = 'binary'
fig = plt.figure()
# ax: 3次元グラフの描画
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, cmap=surfacecolor)
ax.contour(x, y, z, zdir='x', offset=min(side), levels=1, cmap=linecolor)
ax.contour(x, y, z, zdir='y', offset=max(side), levels=1, cmap=linecolor)
ax.set_xlabel('$X$')
ax.set_ylabel('$Y$')
ax.set_zlabel('$f(x,y)$', labelpad=1)
plt.show()
■等高線グラフ
入力パラメータは「平均ベクトルmean_vec」と「共分散行列cov_mtx」です。
multivariate_normal.pdfで2変量正規分布の同時確率密度関数の値を取得します。
contourで等高線をプロットします。
contoufrで等高線の間を塗りつぶします。
colorbarで等高線グラフの右横のカラーバーを表示します。
# 2変量正規分布の等高線グラフを描画する関数
def bi_norm_plot2(mean_vec, cov_mtx):
# x,y軸の設定
side = np.arange(-20, 20, 0.5)
x, y = np.meshgrid(side, side)
xy = np.dstack((x, y))
# z軸:2変量正規分布の確率密度関数の算出
z = multivariate_normal.pdf(xy, mean_vec, cov_mtx) # x,y軸、平均、分散共分散
# プロット
surfacecolor = 'OrRd' # coolwarm
linecolor = 'black'
fig = plt.figure(figsize=(4, 3))
# ax: 等高線グラフの描画
ax = fig.add_subplot(111)
c = ax.contour(x, y, z, levels=10, colors=linecolor, linewidths=0.5)
c = ax.contourf(x, y, z, cmap=surfacecolor)
fig.colorbar(c, ax=ax)
ax.set_xlabel('$X$')
ax.set_ylabel('$Y$')
fig.tight_layout()
plt.show()
③グラフのプロット
パラメータのmean_vecとcov_mtxの値を変えてみてください。
なお、パラメータの妥当性チェックをしていないので、誤った値を設定するとエラーになります。
■パターン1
# 2変量正規分布のパラメータ設定:平均ベクトル、分散共分散行列
mean_vec = [0, 0]
cov_mtx = [[30, 0],
[0, 30]]
# プロット
bi_norm_plot(mean_vec, cov_mtx)
インタラクティブモードの場合、つぎのような画面が表示されます。
マウスでグリグリ回しましょう!
![](https://assets.st-note.com/img/1680190029809-J4J4RoxsV1.png?width=800)
回転の例です。
この状態でインタラクティブモードを終了すると、この状態で画像が残ります。
![](https://assets.st-note.com/img/1680190123741-c2xKfwjg8a.png?width=800)
bi_norm_plot2(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190199718-i43UxQ79qu.png)
■パターン2
# 2変量正規分布のパラメータ設定:平均ベクトル、分散共分散行列
mean_vec = [0, 0]
cov_mtx = [[30, 0],
[10, 30]]
# プロット
bi_norm_plot(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190241115-ac3GRt5Ul0.png)
bi_norm_plot2(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190323131-10JGd1mtug.png)
■パターン3
# 2変量正規分布のパラメータ設定:平均ベクトル、分散共分散行列
mean_vec = [0, 0]
cov_mtx = [[10, 0],
[10, 30]]
# プロット
bi_norm_plot(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190360438-nZ4N1ett8u.png)
bi_norm_plot2(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190391735-KKRwtAHaG9.png)
■パターン4
# 2変量正規分布のパラメータ設定:平均ベクトル、分散共分散行列
mean_vec = [0, 0]
cov_mtx = [[1, 0],
[0, 30]]
# プロット
bi_norm_plot(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190421482-hXukJg3UcR.png)
bi_norm_plot2(mean_vec, cov_mtx)
![](https://assets.st-note.com/img/1680190447312-cFH92pr6tU.png)
Pythonサンプルファイルのダウンロード
こちらのリンクからJupyter Notebook形式のサンプルファイルをダウンロードできます。
おわりに
今回のグラフ作成はとても楽しく準備することができました。
1日程度のWeb調査でやりたいことを実現する方法をたくさん見つけられたからです。
特に3次元グラフと周辺分布の2次元グラフを一緒に表示する方法を知ったときは嬉しかったです。
新しい知見を獲得できること=幸せです。
最後までお読みいただきまして、ありがとうございました。
のんびり統計シリーズの記事
次の記事
前の記事
目次
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか?