物理数学の世界 #2 〜関数の積分〜

※本記事は7/1の投稿を詳細に分けて書き直しました。

物理数学の世界。始まります！

前回は高校で習う数学のおさらいとして、関数の微分について整理しました。そして今回は、積分について話を進めます。

積分は微分を逆転したもの、というのはよく聞かれるフレーズですが、なぜそうなのかの話を踏まえながら、積分の公式まで見ていきます。

今後で何かと登場する公式たちですから、今後のためにもぜひここで頭に入れていただけたらと思います。

整理したノートを公開

実際にノートにまとめてみました。前回の復習になりますが、微分は関数の傾きを求める作業（イメージ）でしたね。今度は積分の話をする訳ですが、積分は関数の任意の区間における面積を求める作業（イメージ）になります。

なぜ面積を求めることに相当するのか、その理由を左側に書いています。証明の形で書いているので、順を追いながら見ていただけると良いです。

ここでは、定積分と不定積分が登場しますが、定積分の方が面積を数値として求める作業になります。

不定積分は定積分を計算する過程で使われる関数を求める作業です。つまり、微分したら与えられた形になる関数を求める作業ということです。

高校の時点では、おそらく不定積分が何に使われるのか見えてこないと思いますが、今後で話をしていく「微分方程式」で必ず使うので、両者の違いについて理解しておくと良いと思います。

積分の公式集

右側に積分の公式集を載せました。三角関数や対数・指数関数の微分（積分）は今後の物理学の話題では頻出なので、ぜひ覚えておいてほしいところです。

本格的に使うのは微分よりも積分の方なのですが、実際のところ「微分したら与えられた形になる関数」を求めること（不定積分）が多くなるので、関数の形をある程度意識してもらえたら良いです。

また、積分は複雑な方法を使わないと解けない場合があります。置換積分と部分積分がそうなのですが、置換積分は定期的に登場することになりそうです。部分積分まで使わないといけない機会は少ないはず。

何かと「覚えてください」の連続でしたが、今後でも見返せるように工夫しようと思うので、この辺はアドバイスいただけたら嬉しいです。

おわりに

今回は高校の数学のおさらいとして、積分に関する情報を整理しました。

結局は数学の公式を覚えることにはなりますが、今後の物理学を扱う上で必ず登場する公式たちなので、理解して先に進んでいただけたらと思います（覚える系の話はここまでです）。

次回は微分方程式の話をしようと思います。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。なるべく毎日更新する気持ちで取り組んでいきます。あなたの人生の新たな１ページに添えたら嬉しいです。何卒よろしくお願いいたします。

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