弱収束する$${{{l}^{１}}}$$の点列は、強収束する： Schurの証明 $${\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left| {{\xi }_{k}} \right|}^{p}}<\infty }}$$.$${1\le p<\infty }$$ をみたす複素数の列$${{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},\cdots }$$ からなるベクトル $${x=\left( {{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}
第2共役空間 $${X}$$ を係数体$${F=\mathbb{R}}$$または$${F=\mathbb{C}}$$ とする線形ノルム空間とする。$${a\in F}$$は絶対値$${\left| a \right|}$$ をノルムとするバナッハ空間である。$${X}$$ から$${F}$$ への有界線形汎関数の全体$${B\left( X,F \right)}$$ を$${X}$$の共役空間と呼び、$${{{X}^{*}}}$$ と書く。$${F}$$ が完備であるおか
定理 ワイエルストラスの多項式近似 $${f\left( x \right)}$$を$${x\in \left[ a,b \right]}$$上で定義された連続関数とする。ある多項式の列$${{{P}_{n}}\left( x \right)}$$が存在して、 $${{{P}_{n}}\to f}$$（一様収束）が成り立つ。 これを一般化したStone-Weierstrassの定理について述べる.。 $${X}$$をコンパクトな距離空間、$${{{C}_{\m
Herglotzの定理 $${\mathbb{D}}$$を単位円$${\left| z \right|<1}$$ とする。 $${z=r{{e}^{i\varphi }}}$$,$${0\le r<1}$$,$${0\le \varphi \le 2\pi }$$とおく。ただし$${r=0}$$ のときは$${\varphi }$$ は定義しない。 定理：$${\mathbb{D}}$$で正則な関数$${f\left( z \right)}$$ が非負の実数部分$${
複素数の数列$${{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}},\cdots }$$があたえられたとき （１） $${{{c}_{k}}=\int\limits_{0}^{2\pi }{{{e}^{ikt}}d\sigma \left( t \right)}}$$ をみたす非減少関数$${\sigma \left( t \right)}$$が存在するための必要十分条件を求めよ。 この問題は$${{{e}^{ikt}}=\cos kt+i\sin kt}
Hahn-Banachの拡張定理 この定理は部分空間で定義された線形汎関数の定義域を全空間へ拡張することを保証するもので、証明にZornの補題（選択公理）を用いる。HahnとBanachが独立に証明した。線形空間$${X}$$ の真部分空間$${M}$$ を考える。すなわち、$${X\supset M}$$ で$${X\ne M}$$ とする。$${f}$$ が$${M}$$ 上で定義された汎関数のとき、$${X}$$上で定義される汎関数$${g}$$ が$${f}$$
角谷―ストーンの定理 $${K}$$ をコンパクト集合、$${C\left( K;\mathbb{R} \right)}$$を$${K}$$から実数$${\mathbb{R}}$$ への連続関数全体とする。 部分集合$${L\subset C\left( K;\mathbb{R} \right)}$$ が束latticeとは、 $${f,g\in L\Rightarrow \sup \left( f,g \right)\in L,\inf \left( f,g \righ
準備：$${n\ge 2}$$ とする。 $${{{\left( x+y \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{x}^{k}}{{y}^{n-k}}}}$$ を$${x}$$ で1回微分すると $${n{{\left( x+y \right)}^{n-1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{k\left( \begin{matri
ポアソン積分公式とFatouの定理 $${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{e}^{-in\theta }}}{n}}{{z}^{n}}}$$ は$${\left| z \right|<1}$$で解析的であるが、$${z={{e}^{i\theta }}}$$ のとき、$${f\left( {{e}^{i\theta }} \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{
ハーディ・ヒルベルト空間$${{{H}^{2}}}$$ Hardy-Hilbert space $${{{l}^{2}}}$$ , $${{{H}^{2}}}$$ , $${{{\tilde{H}}^{2}}}$$ は同一視できるが、同じものが姿を変えそれらの一面だけを見せている。 もっともポピュラーなヒルベルト空間は、絶対値の2乗和が有限となる複素数の無限列である。$${{{l}^{2}}=\left\{ \left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}
$${{{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$の不変部分空間（一般の場合） 不変部分空間invariant subspaces の研究には複素解析と調和解析への作用素理論による方法が基本的である。部分空間$${E\subset {{L}^{2}}\left( \mu \right)}$$ が$${z}$$ による掛け算について不変部分空間であるというのは$${zE\subset E}$$ すなわち、$${f\in E\Rightarrow zf\in
Holomorphic Spaces 正則関数のなす関数空間 黎明期 Holomorphic Spaces とは Spaces of Holomorphic Functionsを縮めたものである。 １．源流 H.Lebeguesの学生であったP.Fatouは単位円を定義域とする調和関数の境界値（円周上のあたい）の行動を調べた[1906]。実際、調和関数はその境界値のポアソン積分として単位円内の値が計算される（正則関数がコーシー積分公式で表されることと同値）。Fa
有限ブラシュケ積finite Blaschke products 複素平面$${\mathbb{C}}$$ 内の単位円を $${\mathbb{D}}$$$${=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|<1 \right\}}$$ とする。$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},\cdots ,{{z}_{n}}}$$ を$${\mathbb{D}}$$ 内の$${n}$$ 個の点とするとき、$${B\left( z \rig
Lax-Milgramの定理 P.D. Lax and ,A.N.Milgram Parabolic equations,in Contributions to the theory of partial differential equations.Princeton 1954 において偏微分方程式の解の存在証明の便利な道具として考えられた。有界な線形汎関数は内積を用いて特徴づけられることを述べたF.Rieszの表現定理の変形である。 Lax-Milgramの定理
被覆写像 連続写像だけを考える。 被覆写像とは、実数$${\mathbb{R}}$$ から円周$${{{S}^{1}}}$$ への写像 $${p\left( t \right)={{e}^{2\pi it}}}$$, $${t\in \mathbb{R}}$$ の公理化である。 $${E,X}$$ を位相空間、 $${p:E\to X}$$ $${U}$$ を$${X}$$ の開集合とする。 逆写像$${{{p}^{-1}}\left( U \right)}$$
ブラウアーの不動点定理 円盤と円周はトポロジー的に異なる。 円盤は連続変換で１点に収縮できるが、円周はできない。これを基本群で表すと、$${{{\pi }_{1}}\left( {{D}^{2}} \right)=0}$$であり、$${{{\pi }_{1}}\left( \partial {{D}^{2}} \right)=\mathbb{Z}}$$という違いとなる。 Brouwer’s fixed point theorem 円盤$${{{D}^{2}}=\l
