Korovkinの近似定理

 
 
Korovkin の近似定理
K.Weierstrass1885は熱伝導方程式の解を考察中に有名な多項式近似定理を発見した。また、S.N.Bernsteinは確率論の手法を用いて、Weierstarassの多項式近似定理の直接証明を与えている。これらの結果は作用素論の立場から統一的に述べることができる。
定理１ Korovkin 1953
区間$${\left[ a,b \right]}$$で定義された 連続関数の全体$${C\left[ a,b \right]}$$から$${C\left[ a,b \right]}$$への写像で作る正の線形作用素の列を　$${{{L}_{n}}}$$,$${n=1,2,3,\cdots }$$とする。もし、
（１）$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{L}_{n}}f=f}$$（一様収束）
が、$${f\left( t \right)=1,t,{{t}^{2}}}$$ の3つの関数で成り立つなら、すべての$${f\in C\left[ a,b \right]}$$に対して（１）が成り立つ。

たった３つの特別な連続関数 $${f\left( t \right)=1,t,{{t}^{2}}}$$について結果が成り立てば、すべての連続関数で成り立つという驚くべく定理である。
応用例として、Weierstarass の定理：
$${f\in C\left[ 0,1 \right]}$$が多項式で一様近似近似できる
これを示すのに、Bernsteinは
$${{{B}_{n}}f\left( t \right)=\sum\limits_{k=0}^{n}{f\left( \frac{k}{n} \right)\left( \begin{matrix}n \\k \\\end{matrix} \right){{t}^{k}}{{\left( 1-t \right)}^{n-k}}}}$$というn次多項式列を考えたが、$${{{B}_{n}}}$$ を$${f\in C\left[ 0,1 \right]}$$から$${C\left[ a,b \right]}$$への作用素と考えると正の線形作用素になっており
$${{{B}_{n}}\left( 1 \right)=1}$$ , $${{{B}_{n}}\left( t \right)=t}$$,
$${{{B}_{n}}\left( {{t}^{2}} \right)=\left( 1-\frac{1}{n} \right){{t}^{2}}+\frac{1}{n}t}$$　
が成り立つことを確かめるだけで、定理１が利用できてWeierstrassの定理を証明できる。
ここで、線形作用素$${P}$$ が正であるとは、$${f\ge 0}$$ に対して、$${Pf\ge 0}$$が成り立つことで、線形であるから$${f\ge g}$$ のとき$${Pf\ge Pg}$$がなりたつことと同じである。つまり、作用素をほどこしても不等式の向きを保つことになる。
 
定理１をしめすのに次の定理が利用できる。
定理２　$${C\left[ a,b \right]}$$上で定義された正の線形汎関数列$${\left\{ {{\varphi }_{n}} \right\}}$$ が
（２）$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{n}}\left( 1 \right)=1}$$ 、
$${h\left( t \right)={{\left( t-c \right)}^{2}}}$$,$${a\le c\le b}$$ に対して$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{n}}\left( h \right)=0}$$
ならば、すべての$${f\in C\left[ a,b \right]}$$に対して、
$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{n}}\left( f \right)=f\left( c \right)}$$が成り立つ。
 
証明）連続関数$${f}$$ は有界なので$${\left| f \right|\le M}$$となる$${M>0}$$ がある。よって
$${-2M\le f\left( x \right)-f\left( c \right)\le 2M}$$
$${f}$$ の連続性から、任意の$${\varepsilon >0}$$ に対して ある$${\delta >0}$$ が存在して$${\left| x-c \right|\le \delta }$$に対し
$${-\varepsilon \le f\left( x \right)-f\left( c \right)\le \varepsilon }$$,
これらの不等式を足し合わせることで
$${-\varepsilon -\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}h\left( x \right)\le f\left( x \right)-f\left( c \right)}$$
$${\le \varepsilon +\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}h\left( x \right)}$$
が得られる。ここで、$${\frac{{{h}^{2}}\left( x \right)}{{{\delta }^{2}}}\ge 1}$$ を用いた。この不等式の各辺に正の作用素（今の場合汎関数）を適用すると
 $${-\varepsilon {{\varphi }_{n}}\left( 1 \right)-\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}{{\varphi }_{n}}\left( h \right)\le {{\varphi }_{n}}\left( f \right)-f\left( c \right){{\varphi }_{n}}\left( 1 \right)\le \varepsilon {{\varphi }_{n}}\left( 1 \right)+\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}{{\varphi }_{n}}\left( h \right)}$$
となる。ここで、$${n\to \infty }$$とすれば
$${-\varepsilon \le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{n}}\left( f \right)-f\left( c \right)\le \varepsilon }$$
が得られ、$${\varepsilon }$$ の任意性から、
$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{n}}\left( f \right)=f\left( c \right)}$$が言える。
定理１の証明をより正確に行うために、定理１と内容は同じだが定理１を次の定理３のように書き直してそれを証明する。
 
定理３．正の線形作用素列$${{{L}_{n}}\left( f;x \right)}$$ が次の３つの条件を満たすとする
$${{{L}_{n}}\left( 1;x \right)=1+{{\alpha }_{n}}\left( x \right)}$$
$${{{L}_{n}}\left( t;x \right)=x+{{\beta }_{n}}\left( x \right)}$$
$${{{L}_{n}}\left( {{t}^{2}};x \right)={{x}^{2}}+{{\gamma }_{n}}\left( x \right)}$$
において、$${{{\alpha }_{n}}\left( x \right)}$$, $${{{\beta }_{n}}\left( x \right)}$$,$${{{\gamma }_{n}}\left( x \right)}$$が$${n\to \infty }$$とするとき$${\left[ a,b \right]}$$で一様にゼロに行く。このとき、すべての$${f\in C\left[ a,b \right]}$$に対して、$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{L}_{n}}\left( f;x \right)=f\left( x \right)}$$ （一様収束）
が成り立つ。
 
定理３の証明には定理2の証明で得た不等式
$${-\varepsilon -\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}h\left( t \right)\le f\left( t \right)-f\left( x \right)\le \varepsilon +\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}h\left( t \right)}$$
をつかう。（パラメータ$${t}$$と$${x}$$ の役割の違いに注意しよう）。
この不等式の各辺に$${{{L}_{n}}\left( f;x \right)}$$を施す。左の不等式は
$${-\varepsilon {{L}_{n}}\left( 1;x \right)-\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}{{L}_{n}}\left( h;x \right)\le {{L}_{n}}\left( f;x \right)-f\left( x \right){{L}_{n}}\left( 1;x \right)}$$
右側も同様に
$${{{L}_{n}}\left( f;x \right)-f\left( x \right){{L}_{n}}\left( 1;x \right)\le \varepsilon {{L}_{n}}\left( 1;x \right)+\frac{2M}{{{\delta }^{2}}}{{L}_{n}}\left( h;x \right)}$$
ここで、$${{{L}_{n}}\left( f\left( x \right);x \right)=f\left( x \right){{L}_{n}}\left( 1;x \right)}$$という関係をもちいていることに注意しよう。さて、$${{{L}_{n}}\left( h;x \right)}$$の$${n\to \infty }$$ における状況を調べよう。$${h\left( t \right)={{t}^{2}}-2tx+{{x}^{2}}}$$
であるから、
$${{{L}_{n}}\left( h;x \right)={{L}_{n}}\left( {{t}^{2}};x \right)-2x{{L}_{n}}\left( t;x \right)+{{x}^{2}}{{L}_{n}}\left( 1;x \right)}$$
条件式を代入して、
$${={{x}^{2}}+{{\gamma }_{n}}\left( x \right)-2x\left( x+{{\beta }_{n}}\left( x \right) \right)+{{x}^{2}}\left( 1+{{\alpha }_{n}}\left( x \right) \right)}$$
$${={{\gamma }_{n}}\left( x \right)-2x{{\beta }_{n}}\left( x \right)+{{x}^{2}}{{\alpha }_{n}}\left( x \right)}$$
これは$${n\to \infty }$$のとき一様にゼロに行く。したがって
$${-\varepsilon \le \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{L}_{n}}\left( f;x \right)-f\left( x \right)\le \varepsilon }$$
$${\varepsilon >0}$$ は任意であったから、$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{L}_{n}}\left( f;x \right)=f\left( x \right)}$$でなければならない。

Korivkin　の定理はBanach 代数においてさらに一般的な形に拡張されている。たとえば、次の文献がある。

R.Nakamoto and M.Nakamura On theorem of Kolovkin Proc.Japan Acad.,41(1965)