弱収束するl^1の点列は、強収束する：Schurの証明

 
弱収束する$${{{l}^{１}}}$$の点列は、強収束する：
Schurの証明
 
$${\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left| {{\xi }_{k}} \right|}^{p}}<\infty }}$$.$${1\le p<\infty }$$
をみたす複素数の列$${{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},\cdots }$$ からなるベクトル
$${x=\left( {{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},\cdots \right)=\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}}$$
全体からなる集合、すなわち$${{{l}^{p}}}$$を考える。
$${x=\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}\in {{l}^{p}}}$$と$${y=\left\{ {{\eta }_{k}} \right\}\in {{l}^{p}}}$$に対して$${x+y=\left\{ {{\xi }_{k}}+{{\eta }_{k}} \right\}}$$, $${\lambda x=\left\{ \lambda {{\xi }_{k}} \right\}}$$,$${\lambda \in \mathbb{C}}$$
により和＋とスカラー積を定義して$${{{l}^{p}}}$$ は線形空間になる。さらに、$${x=\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}\in {{l}^{p}}}$$のノルムを$${\left\| x \right\|={{\left( \sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left| {{\xi }_{k}} \right|}^{p}}} \right)}^{1/p}}}$$,$${1\le p<\infty }$$
で定義すると$${{{l}^{p}}}$$はバナッハ空間になる。$${p=\infty }$$のときは、ノルムを$${\left\| x \right\|=\underset{k}{\mathop{\sup }}\,\left| {{\xi }_{k}} \right|}$$としてバナッハ空間$${{{l}^{\infty }}}$$ となる。ノルム空間$${X}$$で定義された有界線形汎関数の全体を$${{{X}^{*}}}$$と書き、$${X}$$の共役空間と呼ぶ。$${{{X}^{*}}}$$の要素を$${{{x}^{*}}}$$,$${{{y}^{*}}}$$ $${\cdots }$$というように＊印をつけて表すことにする。$${{{X}^{*}}}$$はノルム$${\left\| {{x}^{*}} \right\|=\underset{\left\| x \right\|\le 1}{\mathop{\sup }}\,\left| {{x}^{*}}\left( x \right) \right|}$$でバナッハ空間となる。$${X}$$が上でのべた $${{{l}^{p}}}$$,$${1< p<\infty }$$の場合、$${{{\left( {{l}^{p}} \right)}^{*}}={{l}^{q}}}$$ ,$${1/p+1/q=1}$$
を示すことができる。また、$${{{\left( {{l}^{1}} \right)}^{*}}={{l}^{\infty }}}$$であるが、他方$${{{\left( {{l}^{\infty }} \right)}^{*}}\ne {{l}^{1}}}$$であることが知られている。
$${{{e}_{n}}=\left( 0,0,\cdots ,\overset{\left( n \right)}{\mathop{1}}\,,0,\cdots \right)}$$
とおくと、$${{{e}_{n}}\in {{l}^{p}}}$$ 。
$${x=\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}\in {{l}^{p}}}$$に対して、
$${{{y}_{n}}=x-\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\xi }_{k}}{{e}_{k}}=\left( 0,0,\cdots ,{{\xi }_{n+1}},{{\xi }_{n+2}},\cdots \right)}}$$
とおくと、$${n\to \infty }$$ のとき、
$${\left\| {{y}_{n}} \right\|={{\left( \sum\limits_{k=n+1}^{\infty }{{{\left| {{\xi }_{k}} \right|}^{p}}} \right)}^{1/p}}\to 0}$$
であるから、$${{{x}^{*}}}$$が連続な汎関数のことを用いて
$${{{x}^{*}}\left( {{y}_{n}} \right)={{x}^{*}}\left( x \right)-\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\xi }_{k}}{{x}^{*}}\left( {{e}_{k}} \right)}}$$
の左辺がゼロに行く。したがって、
$${{{x}^{*}}\left( x \right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\xi }_{k}}{{x}^{*}}\left( {{e}_{k}} \right)}}$$
と書ける。また、$${{{x}^{*}}\left( {{e}_{k}} \right)\in {{l}^{q}}}$$ を示すことができる。ここで、$${\left\| {{y}_{n}} \right\|\to 0}$$より$${{{x}^{*}}\left( {{y}_{n}} \right)\to 0}$$をつかった。これは、強収束から弱収束が導かれることを意味している。ノルム空間ノルム空間$${X}$$ の点列$${\left\{ {{x}_{n}} \right\}}$$ に対して$${x\in X}$$が存在して、すべての$${{{x}^{*}}\in {{X}^{*}}}$$について$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{*}}\left( {{x}_{n}} \right)={{x}^{*}}\left( x \right)}$$がなりたつとき、 $${\left\{ {{x}_{n}} \right\}}$$は$${x}$$に弱収束するといい$${{{x}_{n}}\to x}$$（弱）
と書く。それに対して。$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\| {{x}_{n}}-x \right\|=0}$$ をみたすとき、 $${\left\{ {{x}_{n}} \right\}}$$は$${x}$$ に強収束するといい$${{{x}_{n}}\to x}$$（強）
と書く。
$${\left| {{x}^{*}}\left( {{x}_{n}} \right)-{{x}^{*}}\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{*}}\left( {{x}_{n}}-x \right) \right|\le \left\| {{x}^{*}} \right\|\left\| {{x}_{n}}-x \right\|}$$
をかんがえれば、
$${{{x}_{n}}\to x}$$（強）$${\Rightarrow }$$ $${{{x}_{n}}\to x}$$（弱）
が成り立つ。しかし、その逆は成り立たない。実際。$${{{l}^{p}}}$$,$${1< p<\infty }$$の場合、$${{{e}_{n}}=\left( 0,0,\cdots ,\overset{\left( n \right)}{\mathop{1}}\,,0,\cdots \right)\in {{l}^{p}}}$$でつくる点列は$${\left\| {{e}_{n}}-{{e}_{m}} \right\|=\left\| \left( 0,0,\cdots ,\overset{\left( n \right)}{\mathop{1}}\,,0,0,\cdots ,\overset{\left( m \right)}{\mathop{1}}\,,0,\cdots \right) \right\|=\sqrt{2}}$$
となるので ０へ強収束できない。他方、$${{{x}^{*}}\left( {{e}_{k}} \right)\in {{l}^{q}}}$$は$${{{x}^{*}}\left( {{e}_{k}} \right)\to 0}$$を意味するので、$${\left\{ {{e}_{n}} \right\}\to 0}$$（弱）
となっている。
以上のように、$${1< p<\infty }$$の場合は弱収束しても強収束はしないことがわかったが、$${{{l}^{1}}}$$の場合は、弱収束から強収束が導ける。
I. Schur:Crelles J.151(1921)79.
　それを述べよう。
 
定理　 $${{{l}^{1}}}$$ においては、強収束、弱収束の概念は一致する。
証明）$${{{x}_{n}}\to x}$$ は$${{{x}_{n}}-x \to 0}$$と同じであるから、$${{{x}_{n}}\to 0}$$（弱）$${\Rightarrow }$$$${{{x}_{n}}\to 0}$$（強）を示せばよい。
$${{{x}_{n}}=\left\{ \xi _{i}^{(n)} \right\}}$$とおく 。

いま、$${{{x}_{n}}\to 0}$$（強）ではない、すなわち$${{{l}^{1}}}$$ノルムで$${\left\| {{x}_{n}} \right\|=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{(n)} \right|}\to 0}$$がなりたたないとして矛盾をだす。よってもし、
$${\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\left\| {{x}_{n}} \right\|=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| \xi _{k}^{(n)} \right|>\varepsilon >0}}$$であったとすれば、つぎの４条件（１）―（４）をみたす２つの自然数列$${\left\{ {{n}_{k}} \right\},\left\{ {{r}_{k}} \right\}}$$が存在しなければならない：
（１）$${{{n}_{1}}}$$ は$${\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{(n)} \right|>\varepsilon }}$$を満足する$${n}$$の中で最小のものである。
（２）$${{{r}_{1}}}$$は$${\sum\limits_{i=1}^{r}{\left| \xi _{i}^{({{n}_{1}})} \right|>\varepsilon }/2}$$および$${\sum\limits_{i=r+1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{({{n}_{1}})} \right|<\varepsilon /5}}$$
を満足する$${r}$$の中で最小のものである。
以下$${k=2,3,\cdots }$$とする。
（３）$${{{n}_{k}}}$$ は$${{{n}_{k-1}}}$$より大かつ
$${\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{(n)} \right|>\varepsilon }}$$および$${\sum\limits_{i=1}^{{{r}_{k-1}}}{\left| \xi _{i}^{(n)} \right|<\varepsilon /5}}$$
を成り立たせる$${n}$$の中で最小のものである。
（４）$${{{r}_{k}}}$$は$${{{r}_{k-1}}}$$より大かつ$${\sum\limits_{i={{r}_{k-1}}+1}^{r}{\left| \xi _{i}^{(n)} \right|>\varepsilon }/2}$$および$${\sum\limits_{i=r+1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{({{n}_{1}})} \right|<\varepsilon /5}}$$
を成り立たせる$${r}$$の中で最小のものである。
（５）$${1\le i\le {{r}_{1}}}$$で$${{{c}_{i}}=sign\xi _{i}^{\left( {{n}_{1}} \right)}}$$、
$${{{r}_{k}}< i\le {{r}_{k+1}}}$$で $${{{c}_{i}}=sign\xi _{i}^{\left( {{n}_{k+1}} \right)}}$$
とおく。（ここで複素数$${z=\rho {{e}^{i\theta }}}$$ に対して$${sign\,\,z={{e}^{-i\theta }}}$$ と定義している）
$${\left\{ {{c}_{i}} \right\}_{i=1}^{\infty }\in {{l}^{\infty }}}$$であるから、$${{{x}_{n}}\to 0}$$（弱）の仮定を使って$${\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{c}_{i}}\xi _{i}^{({{n}_{k}})}=0}}$$でなければならない。他方（５）により
 
$${\left| \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{c}_{i}}\xi _{i}^{({{n}_{k}})}} \right|\ge \sum\limits_{i={{r}_{k-1}}+1}^{{{r}_{k}}}{\left| \xi _{i}^{({{n}_{k}})} \right|-}\sum\limits_{i=1}^{{{r}_{k-1}}}{\left| \xi _{i}^{({{n}_{k}})} \right|}-\sum\limits_{i={{r}_{k}}+1}^{\infty }{\left| \xi _{i}^{({{n}_{k}})} \right|}}$$
（３）（４）より
$${\left| \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{c}_{i}}\xi _{i}^{({{n}_{k}})}} \right|\ge \frac{\varepsilon }{2}-\frac{\varepsilon }{5}-\frac{\varepsilon }{5}=\frac{\varepsilon }{10}}$$
これは矛盾である。