20030420　グラハム数

　「googolgoogolplex」よりも遙かに大きい数の記述がweb上にある$${^{*0}}$$、という書き込みが掲示板*1にあった。

　web上で物を書いていると不特定多数の方から、こういった反応が得られるので、非常に楽しい。インターネットがない頃は書籍などで自分の記事を発表しない限り、こういった見ず知らずの人から新しい知識を得ることは不可能であった。

　「googolgoogolplex（グーゴルグーゴルプレックス）」とは私が去年に作った数詞$${^{*2}}$$である。そのつもりであった。実を言うとgoogolgoogolplexという単語は既にweb上に存在していた$${^{*3}}$$。考え出した後に、念のためと思って検索してみたらあった。

　数字の肩の小さな数字は累乗を表す。2の3乗は「$${2^3}$$」と書く。googolgoogolplexは$${10^{10^{10^{10^{...10^{10^{10^{100}}}}}}}}$$で「...」の部分が$${10^{100}}$$個続くとてつもなく大きな数である。

　この「googolgoogolplex」よりも遙かに大きな数で「グラハム数$${^{*4}}$$ Graham's Number$${^{*5}}$$」というのがあるらしい。グラハム数から見ればgoogolgoogolplexは塵のようなものというのだ。しかもグラハム数というのは数学的に意味のある数$${^{*6}}$$らしい。googolgoogolplexは大きな数の桁数を表す$${^{*7}}$$だけで、「兆」「億」の類である。

　グラハム数は記号「$${↑}$$」を用いて表す。

$${x↑y = x^y}$$

$${x↑↑1 = x}$$
$${x↑↑2 = x↑x}$$
$${x↑↑y = x↑(x↑↑(y - 1))}$$

$${x↑↑↑1 = x}$$
$${x↑↑↑2 = x↑↑x}$$
$${x↑↑↑y = x↑↑(x↑↑↑(y - 1))}$$

$${x↑↑↑↑1 = x}$$
$${x↑↑↑↑2 = x↑↑↑x}$$
$${x↑↑↑↑y = x↑↑↑(x↑↑↑↑(y - 1))}$$
$${...}$$

と定義される。グラハム数は次のような数である。「$${3↑↑↑↑3}$$」という数を決める。上の定義からこの数の値はここでは書き表せないような数になる。

　試しに「$${3↑↑3}$$」を計算してみると$${3↑↑3=3↑(3↑↑2)=3↑(3↑3)=3↑(3^3)=3^{27}=7625597484987}$$となる。「$${↑}$$」をもう一つ増やして「$${3↑↑↑3}$$」を計算すると$${3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑↑2)=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑(7625597484987)}$$になるから途方もない数である。この後矢印を一つ減らすには$${7625597484987}$$回も同じようなことをしなければならない。「$${↑}$$」が$${3}$$個でこの有様である。$${4}$$個になったら「$${3↑↑(7625597484987)}$$」回も同じ様な展開操作を繰り返さなければならない。

　矢印が四つの「$${3↑↑↑↑3}$$」が、もの凄く大きな数になることが判った。その凄い数を出発点とする。次は「$${3↑↑･･･↑↑3}$$」という数を作る。$${3}$$と$${3}$$との間に「$${↑}$$」が「$${3↑↑↑↑3}$$」個並んだ数である。その次は3と3との間に「↑」が「この前に作った数」個分の「$${↑}$$」が並んだ数を作る。そしてその次は、といった具合にこれを出発点と合わせて$${64}$$回繰り返す*5。これがグラハム数である。確かにgoogolgoogolplexより遙かに大きい感じがする。実際に較べるとどうなんだろう。比較計算はかなり面倒臭そうである。

　「$${↑}$$」記号$${^{*8}}$$は「タワーtower」とも呼ばれるらしい。上向きの矢印が「塔」にも見える。タワーの由来はそれだけではないだろう。累乗は英語で「パワーpower」$${^{*9}}$$という。「power」の次の新しい演算記号ということで「tower」としたに違いない。

*0　巨大数研究室
*1　雑記草掲示板　[189] 無題 投稿者：　 投稿日：2003/04/20(Sun) 05:40
*2　20021211　超巨大数
*3　Googol-stack | Googology Wiki | Fandom
*4　Meta2mathematician's HP　グラハム数
*5　Graham's Number -- from Wolfram MathWorld
*6　Large Numbers -- Notes at MROB
*7　20000514　million
*8　Arrow Notation -- from MathWorld
*9　20010723　Powers of Ten