GPT-4oに東大入試を解かせた結果・・・Part3
１ GPT-4oに解かせた問題
今回解かせたのは、東京大学令和6(2024)年度第2次学力試験数学（文科）第3問です。
２ 解かせた結果の概要
・（１）について
１回目 不正解
（指摘後）
２回目 不正解
（指摘後）
３回目 不正解
※ 今回の問題は、(1)が解けないと(2)以降の問題も解けないため、(2)、(3)は試しておりません。
３ 詳細
この問題を図にしたものです。
では、GPT-4oの最初の回答です。
座標平面上の点O(0,0)、A(0,1)、P(p,0)、Q(q,0)において、条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たすとします。
### 条件の解釈
1. 条件(ⅰ)：0 < p < 1 かつ p < q
2. 条件(ⅱ)：線分APの中点をMとするとき、∠OAP = ∠PMQ
まず、条件(ⅱ)に基づいて、三角形の角度に関する情報を利用します。
### 線分APの中点M
線分APの中点Mの座標は、次の通りです：
$${ M = \left( \frac{p+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = \left( \frac{p}{2}, \frac{1}{2} \right) }$$
### 角度の条件 ∠OAP = ∠PMQ の考察
三角形OAPとPMQにおいて、これらの角度が等しいとします。
### 傾きの考察
点O、A、P、M、Qの座標を使用して、それぞれの傾きを求めます。
1. 点Aから点Pへの傾き：
$${ \text{傾き} = \frac{1-0}{0-p} = -\frac{1}{p} }$$
2. 点Pから点Mへの傾き：
$${ \text{傾き} = \frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{p}{2}-p} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{p}{2}} = -\frac{1}{p} }$$
点Oから点Aへの傾きと、点Pから点Mへの傾きが同じであるため、∠OAP = ∠PMQ の条件を満たします。
### 幾何学的関係の利用
点Pから点Qへの直線に関する条件を求めるために、幾何学的関係を利用します。
条件(ⅱ)より、PからQの距離はMからQの距離と等しくなる必要があります。
### qの導出
P(p,0) と Q(q,0) の x座標に基づいて、次の等式を得ます：
$${ q = \frac{p^2 + 1}{p} }$$
### まとめ
これにより、qをpを用いて表すと、次のようになります：
$${ q = \frac{1}{p} }$$
したがって、求める答えは：
$${ q = \frac{1}{p} }$$
この回答の中で、「条件(ⅱ)より、PからQの距離はMからQの距離と等しくなる必要があります。」の部分が間違っているので指摘しました。
すると、次の回答が返ってきました。
ご指摘ありがとうございます。それでは、ベクトルの向きを修正して再度計算します。
### 座標の確認と設定
- $${ O(0, 0) }$$
- $${ A(0, 1) }$$
- $${ P(p, 0) }$$（条件：0 < p < 1）
- $${ Q(q, 0) }$$（条件：p < q）
### 中点Mの座標
線分APの中点Mの座標は次の通りです：
$${ M = \left( \frac{p + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{p}{2}, \frac{1}{2} \right) }$$
### 角度の条件 ∠OAP = ∠PMQ を考察
この条件を満たすために、三角形のベクトルを使って考えます。
### ベクトルの計算
- ベクトル $${\overrightarrow{AO}}$$：
$${ \overrightarrow{AO} = (0 - 0, 0 - 1) = (0, -1) }$$
- ベクトル $${\overrightarrow{AP}}$$：
$${ \overrightarrow{AP} = (p - 0, 0 - 1) = (p, -1) }$$
- ベクトル $${\overrightarrow{MP}}$$：
$${ \overrightarrow{MP} = \left( p - \frac{p}{2}, 0 - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{p}{2}, -\frac{1}{2} \right) }$$
- ベクトル $${\overrightarrow{MQ}}$$：
$${ \overrightarrow{MQ} = \left( q - \frac{p}{2}, 0 - \frac{1}{2} \right) = \left( q - \frac{p}{2}, -\frac{1}{2} \right) }$$
### 内積と角度
角度の条件を満たすためには、次の等式が成り立つ必要があります：
$${ \cos \theta_{OAP} = \cos \theta_{PMQ} }$$
#### ∠OAP の内積と大きさ
$${ \cos \theta_{OAP} = \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AO}| |\overrightarrow{AP}|} }$$
計算します：
$${ \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AP} = (0, -1) \cdot (p, -1) = 0 \times p + (-1) \times (-1) = 1 }$$
$${ |\overrightarrow{AO}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1 }$$
$${ |\overrightarrow{AP}| = \sqrt{p^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 1} }$$
したがって、
$${ \cos \theta_{OAP} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{p^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{p^2 + 1}} }$$
#### ∠PMQ の内積と大きさ
$${ \cos \theta_{PMQ} = \frac{\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ}}{|\overrightarrow{MP}| |\overrightarrow{MQ}|} }$$
計算します：
$${ \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ} = \left( \frac{p}{2}, -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( q - \frac{p}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( \frac{p}{2} \right) \left( q - \frac{p}{2} \right) + \left( -\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} \right) }$$
$${ = \frac{pq}{2} - \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4} }$$
$${ |\overrightarrow{MP}| = \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{p^2}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2} }$$
$${ |\overrightarrow{MQ}| = \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}} }$$
したがって、
$${ \cos \theta_{PMQ} = \frac{\frac{pq}{2} - \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4}}{\left( \frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2} \right) \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}} }$$
$${ = \frac{\frac{pq}{2} - \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2} \cdot \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}} }$$
### 等式を立てる
$${ \frac{1}{\sqrt{p^2 + 1}} = \frac{\frac{pq}{2} - \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2} \cdot \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}} }$$
両辺を$${\sqrt{p^2 + 1}}$$で掛けると：
$${ 1 = \frac{\frac{pq}{2} - \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}} }$$
両辺を2で掛けると：
$${ 2 = \frac{pq - \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}} }$$
両辺を $${\sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}}}$$ で掛けると：
$${ 2 \sqrt{\left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}} = pq - \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2} }$$
平方して両辺を計算します：
$${ 4 \left( \left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \right) = \left( pq - \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2} \right)^2 }$$
左辺は：
$${ 4 \left( \left( q - \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \right) = 4 \left( q^2 - pq \cdot \frac{p}{2} + \left( \frac{p}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \right) = 4q^2 - 4pq \cdot \frac{p}{2} + p^2 + 1 }$$
右辺は：
$${ \left( pq - \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2} \right)^2 = p^2q^2 - p^3q + p^2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{p^2}{4} + \frac{1}{4} + pq \cdot \frac{1}{2} }$$
したがって、両辺の式を簡約化しながら解いていくと、
$${ q = \frac{1}{p} }$$
この結果を得ました。従って、求める答えは：
$${ q = \frac{1}{p} }$$
GPT-4oは、どうやらベクトルで解くという方針をとった方がよいと判断しました。しかし、この回答も間違いです。何度か指摘しましたが、正解に行きつきませんし、計算がとても煩雑になっています。
なので、方針転換を提案しました。
ご指摘ありがとうございます。再度見直して、正しく解答します。
### 座標の確認と設定
- $${ O(0, 0) }$$
- $${ A(0, 1) }$$
- $${ P(p, 0) }$$（条件：0 < p < 1）
- $${ Q(q, 0) }$$（条件：p < q）
### 中点Mの座標
線分APの中点Mの座標は次の通りです：
$${ M = \left( \frac{p + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{p}{2}, \frac{1}{2} \right) }$$
### 角度の条件 ∠OAP = ∠PMQ を考察
この条件を満たすために、三角形の三角比を使って考えます。
#### 三角形 OAP において
- 頂点O：$${ O(0, 0) }$$
- 頂点A：$${ A(0, 1) }$$
- 頂点P：$${ P(p, 0) }$$
角 $${\theta = \angle OAP}$$ を考えます。
$${\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1 - 0}{p - 0} = \frac{1}{p}}$$
したがって、
$${\theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{p} \right)}$$
#### 三角形 PMQ において
- 頂点P：$${ P(p, 0) }$$
- 頂点M：$${ M \left( \frac{p}{2}, \frac{1}{2} \right) }$$
- 頂点Q：$${ Q(q, 0) }$$
角 $${\theta = \angle PMQ}$$ を考えます。
### 三角比と正弦定理の適用
$${\angle PMQ = \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{p} \right)}$$ です。
この条件から、三角形OAPと三角形PMQの対応する辺の比率が等しいことを利用します。
#### 正弦定理の適用
三角形OAPに正弦定理を適用します。
$${\frac{OA}{\sin(\angle OAP)} = \frac{AP}{\sin(\angle OPA)}}$$
ここで、$${\angle OPA}$$ は直角なので、$${\sin(\angle OPA) = 1}$$。よって、
$${OA = 1}$$
$${AP = \sqrt{p^2 + 1}}$$
$${\sin(\angle OAP) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + 1}}}$$
$${\frac{1}{\frac{p}{\sqrt{p^2 + 1}}} = \sqrt{p^2 + 1}}$$
#### 三角形PMQでの正弦定理
次に、三角形PMQで正弦定理を適用します。
$${\frac{PM}{\sin(\angle PMQ)} = \frac{MQ}{\sin(\angle PQM)}}$$
ここで、$${\angle PMQ = \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{p} \right)}$$ です。
$${PM = \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2}}$$
$${\sin(\angle PMQ) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + 1}}}$$
したがって、
$${\frac{\frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2}}{\frac{p}{\sqrt{p^2 + 1}}} = \frac{MQ}{\sin(\angle PQM)}}$$
$${\frac{\sqrt{p^2 + 1}}{2} \cdot \frac{\sqrt{p^2 + 1}}{p} = \frac{MQ}{\sin(\angle PQM)}}$$
ここで、$${MQ}$$ は三角形の一辺で、頂点PとQの座標差から求められます。
#### qの求め方
点Qのx座標がpの逆数であると仮定すると、三角形PMQの辺の長さと角度が一致することを確認できます。
したがって、
$${q = \frac{1}{p}}$$
これで、与えられた条件を満たす解が得られました。したがって、求める答えは：
$${q = \frac{1}{p}}$$
この回答も間違っています。
４ 考察
今回問題を解かせ、何度か回答を修正させましたが、正解させることができませんでした。
その原因の１つとして、問題で設定されている点の位置関係を図１のようにイメージできていない、ことが考えられます。
私がこの問題を解いた場合は、図１をかいて、三角比の相互関係や正弦定理を使いました。
でも、GPT-4oはこの図を正しく作ることが困難なようです。
もしかしたらその困難を自覚しているから、ベクトルで解こうとしたのではないか？と考えちゃいました。
５ 最後に
以前共通テストの問題を解かせたことがありました。
それも図形の問題でした。
その時は正解できました。
この違いはなぜでしょう？
気になります。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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