第８回 Torus-P(n)-Leaperの分類・完
前回の続きです。
前回ステートメントだけ記した定理７.４に証明を付け、連載を終わりにします。
いつものように、$${9\times9}$$の$${\textrm{Torus-}(a,b)\textrm{-Leaper}}$$と$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$をそれぞれ単に$${L(a,b),P(n)}$$と書くことにします。
また、命題$${\varphi}$$に対し
$$
⟦\varphi⟧ = \begin{cases}
0 & \text{(} \varphi \text{が偽の場合)} \\
1 & \text{(} \varphi \text{が真の場合)}
\end{cases}
$$
とし、集合$${A}$$に対し$${1\cdot{A}=A,\;0\cdot{A}=\varnothing}$$とします。
定理７.４
$${n}$$を自然数とする。このとき、$${P(n)}$$は下記の通りである。
［０］$${n\equiv0}$$の場合$${(n=9m)}$$
$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(0,1) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,2) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,3) \\
+\,&\llbracket\; m\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(0,4) \\
+\,&\llbracket\; 9\mid{m} \;\rrbracket \;L(0,0) \\
+\,&\llbracket\; 3\nmid{m} \;\rrbracket \;L(3,3)
\end{align*}
$$
［１］$${n\equiv\pm1}$$の場合
$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,1) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,4)
\end{align*}
$$
［２］$${n\equiv\pm2}$$の場合
$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,2) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(4,4)
\end{align*}
$$
［３］$${n\equiv\pm3}$$の場合
$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,3) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,3) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(3,4)
\end{align*}
$$
［４］$${n\equiv\pm4}$$の場合
$$
\begin{align*}
&P(n) \\
=\;\;&L(1,4) \\
+\,&\llbracket\; n\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \;\rrbracket \;L(2,2)
\end{align*}
$$
$${\square}$$
（証明）
［０］$${n\equiv0}$$の場合$${(n=9m)}$$
$${n=n\times1}$$より、$${P(n)\supset{L(n,1)=L(0,1)}}$$である。あとは、下記の5つの同値を示せばよい。
$$
\begin{align*}
\text{(1) }&m\,\text{は}\,a\equiv\pm{2}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \Leftrightarrow P(n)\supset{L(0,2)} \\
\text{(2) }&m\,\text{は}\,a\equiv\pm{3}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \Leftrightarrow P(n)\supset{L(0,3)} \\
\text{(3) }&m\,\text{は}\,a\equiv\pm{4}\,\text{なる約数}\,a\,\text{を持つ} \Leftrightarrow P(n)\supset{L(0,4)} \\
\text{(4) }&9\mid{m} \Leftrightarrow P(n)\supset{L(0,0)} \\
\text{(5) }&3\nmid{m} \Leftrightarrow P(n)\supset{L(3,3)}
\end{align*}
$$
(1)
$${\Rightarrow}$$：$${P(n)\supset L(9m/a,a)=L(0,2)}$$である。
$${\Leftarrow}$$：$${n=(9a)\cdot(9b+2e)}$$なる$${a,b\in\mathbb{N},e\in\mathbb{\{1,-1\}}}$$が存在する。$${9b+2e}$$は$${m}$$の約数であり、$${9b+2e\equiv\pm2}$$である。
(2)、(3)も同様である。
(4)
$${\Rightarrow}$$：$${n=9\cdot9k}$$と書けるので、$${P(n)\supset L(9,9k)=L(0,0)}$$となる。
$${\Leftarrow}$$：$${n=(9a)\cdot(9b)}$$なる$${a,b\in\mathbb{N}}$$が存在する。よって、$${n/9}$$は$${9}$$の倍数。
(5)
$${\Rightarrow}$$：$${m}$$は$${3}$$の倍数ではないので、$${n=9(3a+e_1)(3b+e_2)}$$なる$${0}$$以上の整数$${a,b}$$と$${e_1,e_2\in\{1,2\}}$$が存在する。$${n=(9a+3e_1)(9b+3e_2)}$$なので、$${P(n)\supset L(3e_1,3e_2)=L(3,3)}$$である。
$${\Leftarrow}$$：$${n=(9a+3e_1)(9b+3e_2)}$$なる$${a,b\in\mathbb{N},e_1,e_2\in\mathbb{\{1,-1\}}}$$が存在する。$${n=9(3a+e_1)(3b+e_2)}$$であり、$${3}$$は$${(3a+e_1)(3b+e_2)}$$を割らない。
［１］$${n\equiv\pm1}$$の場合
$${n=ab}$$なる$${a,b\in\mathbb{N}}$$をとり、$${L(a,b)}$$を考える。
(i) $${a\equiv\pm1}$$の場合
$${ab\equiv\pm1}$$より$${b\equiv\pm1}$$となる。したがって、$${L(a,b)=L(1,1)}$$。
(ii) $${a\equiv\pm2}$$の場合
$${ab\equiv\pm1}$$より$${2b\equiv\pm1}$$となる。$${2b\equiv1}$$なら$${b\equiv-4}$$、$${2b\equiv-1}$$なら$${b\equiv4}$$となる。よって$${b\equiv\pm4}$$である。したがって、$${L(a,b)=L(2,4)}$$。
(iii) $${a\equiv\pm3}$$の場合
$${3b\equiv\pm1}$$となるので、$${3b\pm1=9k}$$なる$${k\in\mathbb{Z}}$$が存在する。$${3(b+3k)=\pm1}$$となるが、$${b+3k}$$は整数なのでこの等式は不合理。
よって、$${a\not\equiv\pm3}$$である。
(iv) $${a\equiv\pm4}$$の場合
$${ab\equiv\pm1}$$より$${4b\equiv\pm1}$$となる。$${4b\equiv1}$$なら$${b\equiv-2}$$、$${4b\equiv-1}$$なら$${b\equiv2}$$となる。よって、$${b\equiv\pm2}$$である。したがって、$${L(a,b)=L(2,4)}$$。
以上(i)～(iv)より、$${n}$$が$${\pm2\pmod 9}$$の約数を持てば$${P(n)=L(1,1)+L(2,4)}$$となり、持たなければ$${P(n)=L(1,1)}$$となる。
［２］［３］［４］も［１］と同様に示せる。
（証明終わり）
以上で$${9\times9}$$の$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$の整理が終わりました。
さらに発展させるとすれば、盤を$${9\times9}$$ではなく素数$${p,q}$$に対する$${p\times p}$$や$${p\times q}$$、$${p^e\times q^f}$$、最終的には 整数$${\times}$$整数 にしたときに$${\textrm{Torus-}P(n)\textrm{-Leaper}}$$がどのような駒になるか調べるという方向性があると思います。
煩雑になるだけで面白い性質は見つからないかもしれませんが……
また、チェスの駒を使った数学的な研究対象に、Leaper's tour（Knight's tour の拡張）があります。
Torus 盤上の Leaper tour を考えたら何か面白いことがあるかもしれません（ないかもしれません）。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？