島根県｜公立高校入試確率問題2023

　赤球３個と白球１個がはいっている袋から球を取り出すとき，次の１～３に答えなさい。ただし，１～３のそれぞれについて，どの球が取り出されることも同様に確からしいものとする。
１　袋から球を１個取り出すとき，赤球が出る確率を求めなさい。
２　袋から球を１個ずつ２回続けて取り出すとき，２個とも赤球が出る確率を求めなさい。
３　袋から球を１個取り出して色を調べ，それを袋にもどしてから，また，球を１個取り出す。このとき，２個とも赤球が出る確率を求めなさい。

分類２０　見た目同じことが起こる偶然－色玉

（１）図がないときはまずはイメージ

　問題に図はありません。まずはイメージを。

　ここからまずは球を１つだけ取り出します。起こりうるすべての場合は４通りで，そのうち赤球が出る場合は３通りですので，その確率は，$${\dfrac{3}{4}}$$ですね。

（２）同様に確からしいことがらを区別

　１番の問題は初歩の初歩で，つまづきようがない問題に思われます。ところが，偶然が２回以上になると，頭の中だけで考えようとすると途端に混乱します。そのため，かいたり下準備したりする必要があります。
　３つの赤球にそれぞれ区別をつけます。後々のことも考えて，ここでは，赤球３個に１～３の番号を，白球に４番をつけて考えることにしましょう。

　こうすると，起こることが同様に確からしいことがらを区別することができます。

　この場合「２回続けて取り出す」ですので，同じ球を２回とることはありません。表をかいて考える場合は，対角線を消すＰ型の表になります。

　すべての場合は１２通りで，２回とも赤となる場合は６通りですので，求める確率は$${\dfrac{6}{12}=\dfrac{１}{２}}$$となります。

（３）もとに戻さないときと，戻すときのちがい

　同じように表をかいて考えますが，今度は戻しませんので表をいじらないＸ型の表になります。

　起こりうるすべての場合は１６通りで，そのうち２回とも赤い球になるのは９通りですので，その確率を求めると$${\dfrac{9}{16}}$$になります。（２）の場合よりも，やや確率が高くなりますね。

答

１　$${\bm{\dfrac{4}{3}}}$$　　２　$${\bm{\dfrac{1}{2}}}$$　　１　$${\bm{\dfrac{9}{16}}}$$

【研究】　取り出して，戻さずもう１回。だけど取り出す順序は実は関係ない

　２番目の今回の判定条件は「どちらも赤球であるかどうか」です。
　この条件は，取り出した順序は特に問われません。これは１２通りある
　　　［１-２の順番で取り出す場合］・［２-１の順番で取り出す場合］
　　　［１-３の順番で取り出す場合］・［３-１の順番で取り出す場合］
　　　［１-４の順番で取り出す場合］・［４-１の順番で取り出す場合］
　　　［２-３の順番で取り出す場合］・［３-２の順番で取り出す場合］
　　　［２-４の順番で取り出す場合］・［３-２の順番で取り出す場合］
　　　［３-４の順番で取り出す場合］・［３-４の順番で取り出す場合］
を，それぞれ２つずつまとめて６つの場合
　　　［１-２の組合せで取り出す場合］
　　　［１-３の組合せで取り出す場合］
　　　［１-４の組合せで取り出す場合］
　　　［２-３の組合せで取り出す場合］
　　　［２-４の組合せで取り出す場合］
　　　［３-４の組合せで取り出す場合］
と考えて判定できるので，その確率を求めても大丈夫，ということです。

　２回に分けて取り出しても，同時に取り出したとして考えても確率は変わらない，ということで，Ｃ型，対角線の左下の方を消した表で確率を求められます。

　オーソドックスに，まじめに解いてももちろん大丈夫な問題なのですが，上を目指したい人はこうやって楽をする方法（テクニック）を身に着けてもいいですね。
　ただし，「テクニック」は使える場合と使えない場合があります。これが例えば「１回目に白球，２回目に赤球を取り出す確率」となっていると，順番が関係しますので，この【研究】の方法は使えない，関係ない，ということになります。何事もテクニックにおぼれすぎないように。