応用編〈６〉　並べる

　次のⅠ図のような穴のあいた箱があり，正面の板は透明で，箱の中は仕切りによって左右２つの部屋に分けられている。次のⅡ図のように，この箱に穴から玉を入れると，玉は必ず左右どちらかの部屋に入る。それぞれの部屋に玉は４個まで入り，同じ部屋に複数の玉が入るときは次のⅢ図のように縦に積み重なる。
　このとき，下の問い(1)・(2)に答えよ。ただし，用いる玉の大きさはすべて同じであり，それぞれの玉が左右どちらの部屋に入るかは，同様に確からしいものとする。（京都府2016）

（１）　玉が入っていないⅠ図の箱に，白玉・黒玉・白玉の順に玉を３個入れるとき，部屋の中で白玉と白玉が接触する確率を求めよ。
（２）　玉が入っていないⅠ図の箱に，白玉・黒玉・白玉・黒玉の順に玉を４個入れるとき，部屋の中で，白玉と白玉の接触，または黒玉と黒玉の接触の，少なくとも一方が起こる確率を求めよ。

問題を解く前に・・・

　これも、まずは問題文を読み解いて、何を言っているか理解するのにちょっと時間がかかる問題ですね。もしかしたら入試問題の１問として出されたら、「確率の問題」と思うまでにも時間がかかるかも知れません。

何が偶然として起こるのか？　

をしっかりとらえるようにしましょう。

　偶然として起こるのは「玉が左右どちらかの部屋に入る」ことですね。そして問題文に書いてあるように、それぞれの玉が左右どちらの部屋に入るかは，同様に確からしいのです。

（１）・・・

　さて、まずどんな図をかきましょう？　玉を３個入れれば偶然は３回、玉を４個入れれば偶然は４回起こりますので、樹形図ですかね。１回入れる度に、その玉が「右」に行くか「左」に行くかで、樹形図を書いてみましょう。

　樹形図に書き込むのは右・左でもいいし、←・→とか、英語だとＬ・Ｒとか、書きやすくて、あとで見てもわかりやすければ、何でもいいです。この場合は漢字でも大した画数ではないので、漢字で書いておきましょう。（ＬとＲがどちら左右か一瞬で分かるようならＬ・Ｒの方が書きやすいのですが）

　全部の場合の数（分母）は８通り。

　もういろいろと書き込んじゃいました。判定条件は、３個入れたときに玉がどういう状態にあるか？　ということですね。

　そして、白玉が隣り合っているのは２通り（分子）。なので確率は　１／４。

（２）

　この調子で、（２）も樹形図→その時の箱の中の状況までを書いてしまいましょう。

全部で１６通りのうち、「白玉と白玉の接触，または黒玉と黒玉の接触の，少なくとも一方が起こる確率」が起こっているのは、○をつけた６通り。

　というわけで答えは　６／１６　＝　３／８

問題を解いたあとに・・・

　今後のために、別解を書いておきます。考え方を広げておきたい人は次も読んでおくといいかもしれません。どうぞましょう。

　（１）樹形図を書かずに解いてみましょう。求めたい確率は「白玉どうしが接触する」確率です。それはどういうことか、というと「玉が１回目と３回目で同じ方に入り、２回目だけ違う方に入る」確率と考えるとどうでしょう？　１回目が左右どちらに入っても、こういうことになります。

　あら、表を書いたら確率は　１／４。パッと出ちゃった。

・・・でも「こうも解けるよ」ぐらいの別解です。これを思いついたら、すごい！　ぐらいの別解です。思いつかなくても、がっかりしないで大丈夫です。このぐらいの問題なら、頭だけでグチャグチャ考えて楽しようと思わずに、しっかり図をかいて答えを出す練習をしておいた方がいいと思います。

　そして、別の問題でこれを思いついたら心の中でガッツポーズしてくださいね。

　ところが、（２）になると、この考え方をやると途端に危険になります。なぜかというと、「白い玉同士が接触している」場合と「黒い玉同士が接触している」「白い玉同士も黒い玉同士も接触している」もあるからです。これはちょっとこんがらがる。高校で「排反な事象」などを習ってからやった方がいいでしょう。

　このnoteは「受験のために早く解くテクニック」をあまり重視していませんので、これはあくまで（１）の別解ということで。

類題

神奈川県2023、福井県2021、沖縄県2013，神奈川県2005

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