除法の筆算の土台　｜基礎計算研究所

÷１桁と÷複数桁の共通点、そして大きな相違点　乗法の際，複数桁×複数桁は、乗数の桁数分の「複数桁×1桁分」の計算が構成要素になっている。

　しかし÷複数桁の除法の筆算においては，÷１桁の筆算はその構成要素にはなっていない。ここが様相が異なるので注意が必要である。

　具体的に言うと，483×72を筆算するときは、483×7と483×2に分解して計算を進めるが、3674÷73の筆算は3674÷7と

●10〜90台の一の位が1〜4／
　10〜80台の一の位が5〜9／
　95・96 ・ 97 ・ 98 ・ 99
●K方式（被除数除数 とも切り捨て）
　T方式（除数のみ四捨五入）
　D方式（被除数除数とも四捨五入）
各々
※ 九立商
※修正回数
●乗法
●減法

水道方式の文献

今後このシリーズで参照する文献増補　水道方式による計算体系　1971　遠山啓、銀林浩著　明治図書　
新版　水道方式入門　整数編　1971 遠山啓、銀林浩編　国土社
新版　水道方式入門　小数・分数編〔新装版〕　1992　遠山啓、銀林浩編　国土社
数学教育現代化の基礎 2 水道方式　1971 遠山啓、銀林浩編　国土社
数学の学び方・教え方（岩波新書）　1972　遠山啓著　岩波書店
わかるさんすうの教え

筆算計算体系の理論～「水道方式」を手がかりに｜基礎計算研究所

部品の組合せとしての筆算　まずは徹底して分類し尽くすことである。

　勘ではなく分析の結果こうなる、ということをしたい。ただ、「水道方式」の型分けがそのまま使えるかというと，実はそうでもない。水道方式では筆算は十進位取り記数法を基盤にした計算法として、その桁で何が行われているかを考える。そして加減では３桁までの計算に習熟すればよいとして，例えば加法は１４４の型に分ける。こうした分類配列が見事である

◆目次◆　筆算研究室｜基礎計算研究所

総則編筆算計算体系の理論～「水道方式」を手がかりに

筆算における０は４種類

★くり上がり・くり上がりを［桁またぎ］と呼ぶ
★型分けと配列のための理論

整数編加法・減法

加法・減法筆算の土台①　くり上がり／くり下がりの扱い

加法・減法筆算の土台②　０の扱い

加法の筆算　①加法筆算の部品

加法の筆算　②各種の検討

加法の筆算　③型分けと配列

減法の筆算　①減法筆算の部品

減法の筆算

÷１桁の０の扱い（４）　「たてる・かけるの０」と省略算　｜基礎計算研究所

「たてる・かけるの０」　「たてる・かけるの０」は、商の各位に０が立つ場合であり、たてるの０とかけるの０をまとめたのは、その位に０がたてば，０をかけるので自動的にかけるにも０があらわれる。セットにして扱ってよい。
　また、たてる・かけるの０は、「ひくの０」「おろすの０」に比べて「特殊感」が強い。０を立てたときに、ここに０を書いてよいのか、０と書いた場合に（省略算含めて）次どうするのか、ほかの各ステッ

減法の筆算　③型分け　｜基礎計算研究所

Level分け　加法と同様、減法の複合過程も、くり下がりを主な軸として、０の処理によって細分化する，という作業をしていくことにする。

　まず，くり下がりについてだが、

◆　くり下がりの有無
◆　連続するくり下がりの有無
◆　波及的くり下がり＊の有無

＊一の位へ波及的繰り下がり（東京書籍）　［一の位の計算をするときに］波及的に繰り下がる減法（教育出版）　被減数に空位があり，波及的に繰り下がる減

加法・減法筆算の土台③０の扱いその２「明示の０」「省略の０」｜基礎計算研究所

０は確かに特殊ではあるのだが・・・　暗算やそろばんでいうと、０は［計算をしなくてもよい］という合図になる。もう少し細かくいうと［計算をせずに次の行程へ行ってよい］ということである。
　ところが筆算では、目に見えている０も、他の計算の構成要素とかわらず［計算結果を書いて、次の行程へ行く］という同等のものであることを，水道方式では示したのである。そして、むしろ構成要素である素過程の中に０に関係する計算

長乗法・短乗法、長除法・短除法

　筆算の計算をめんどくさくする操作の１つがくり上がり・くり下がりの操作です。「筆算研究室」のnoteでは，くり上がり・くり下がりをまとめて桁またぎと名づけていますが，この桁またぎをかけ算・わり算の筆算のときにどのように書いて処理するか、考え方が２つあります。

　長乗法／短乗法、長除法／短除法です。

　長除法・短除法については啓林館の教員向け解説ページに説明があるので，引用します。

　しれっと

学習者に提示する方策は１つにしぼるか複数提示して選ばせるか　｜基礎計算研究所

仮商を立てる方法について、教科書会社でも割れているのは紹介した通りだが、いくつかある方法のうち教科書上では１つだけ提示するのか、複数提示して指導者・支援者や学習者に選択させるのかについても、分かれている。

学習者に提示するのは方策１つか複数か2020年度に改訂された教科書を見てみると、各社の教科書上の扱いは以下のとおりである。

●方法を１つのみ提示

◆「わる数切り捨て」（方法３）のみを提示　

÷１桁の０の扱い（１）　総論　｜基礎計算研究所

４つの０（おさらい）　［０の扱い］については、筆算における０は４種類の稿でまとめてある。

　そこでは「開始の０／結果の０」と、「明示の０／省略の０」の２つの軸があって、最終的に４つの０に分類ができる、とした。

　そして計算のつまづきやすさ（これをあるいは水道方式の「特殊」さの強さと見立ててもよいのだが）を

γ　＜　δ　＜　Δ　＜　Γ

と考えて、特に加減についてはこの原則の下、分類したものを

÷１桁の０の扱い（２）　おろすの０　｜基礎計算研究所

［おろすの０］はすべて［明示の０］　まず、［おろすの０］［ひくの０］［たてる・かけるの０］のうち、最後のプロセス［おろすの０］を見ていく。
　［おろすの０］が発生するのは、次のけたが［書いてある０（γ）］のときで、そのままおろして［書けばよい０（δ）］となる。［おろすの０］はすべて［明示の０］である。

（※）ただしこれは、整数÷整数＝整商の筆算においては、と言う注釈をつけておかなければならない。