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【集合論#7】合成写像・逆像・逆写像
合成関数f:A→B
と
g:B→C
という2つの写像があるときに
fでAをBにして、その後、gでBをCにする
とAからCへの写像ができる
g(f(x))
これを合成写像といい
g⚪︎f:A→C
と書く
例えば、
f:ℝ→ℝ
f(x)=2x
g:ℝ→ℝ
g(x)=x²
とすると
g⚪︎f(x)
=g(f(x))
=g(2x)
=(2x)²
=4x²
逆像f:A→Bという写像はAの元aに対して
【集合論#6】全単射
単射f:A→Bで
∀x,y∈A
x≠y→f(x)≠f(y)
を満たす時
fを単射という
Aの違う元は違う行き先になる
例えば、
A={1,2,3}
B={1,2,3,4,5}
に対して写像f:A→Bを
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=4
とする
この写像はf(1),f(2),f(3)どれも行き先が違うので単射
f(1)=2
f(2)=2
となったら単射でない
単射な写像
f:ℝ
【集合論】集合とは何か？
集合とは何かものがいくつか集まったもの
桜、バラ、ひまわりなどを集めたら花という集合になる
ただ、その集合に含まれるかどうかがはっきりしないといけない
綺麗な花という集合は、「綺麗な」が曖昧
集合の要素→元
桜は花という集合の元
桜∈花
集合の表し方1.元を書き出す
花={桜、バラ、ひまわり、…}
2.元が満たしている条件を書く
花={花弁を持つ植物}
数学では後者の表し方を使う
全てを
【集合論#2】集合の演算
和集合AとBの集合があった時
AとBのどちらかの元になっているものを集めた集合
A∪Bと書く
AとBの和集合
AまたはB
AカップB
例えば
Aを春に咲く花（桜、チューリップ、ヒヤシンスなど）
Bを木に咲く花（桜、金木犀、柊など）
とした時
A∪Bの元は
春に木に咲く花である桜はもちろん
春に咲くけど木に咲かない花（チューリップなど）や
春に咲かないけど木に咲く花（柊など）
これら全てになる
【集合論#3】ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ
(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ
この2つをまとめてド・モルガンの法則
AとBの和集合の補集合は、Aの補集合とBの補集合の共通部分
AとBの共通部分の補集合は、Aの補集合とBの補集合の和集合
ベン図を書くと明らか
明らかといえど本当にそうなのか？
やはり証明が必要
証明目標
イコールを示すから
①(A∪B)ᶜ⊂(Aᶜ∩Bᶜ)
と
②(A∪B)ᶜ⊃(A
【集合論#4】べき集合
集合族集合が元になっている集合
{1}や{1,2}などの集合が集まったもの
{{1},{1,2},{1,2,3},…}
集合の集合の集合みたいなのもできる
{0,{0},{{0}},{{{0}}},…}
ある種の自然数
べき集合集合族の代表的なもの
ある集合の部分集合を全て集めてきた集合
{1,2,3}のべき集合は
{φ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}
【集合論#5】直積と写像
直積集合を2つ持ってきて、その元を並べたもの
(a,b)
高校数学でいう座標
2つのパラメータを動かせる
これを、A×Bと書く
（かけ算とは別物）
A={1,2,3}
B={1,2,3,4}
とすると
A×Bの元は
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)
Aの個数をm、Bの個数をn