【集合論】集合とは何か？

集合とは

何かものがいくつか集まったもの
桜、バラ、ひまわりなどを集めたら花という集合になる

ただ、その集合に含まれるかどうかがはっきりしないといけない
綺麗な花という集合は、「綺麗な」が曖昧

集合の要素→元
桜は花という集合の元
桜∈花

集合の表し方

1.元を書き出す
花={桜、バラ、ひまわり、…}
2.元が満たしている条件を書く
花={花弁を持つ植物}

数学では後者の表し方を使う

全てを書き出すことができない
花を全て列挙するなんでできるわけない
…の部分が曖昧

1,2,4,…
1,2,4,8,16,…=2ⁿ
1,2,4,7,11,…=(n²-n+2)/2
かもしれない

実態はわからないけどそういう性質を持つものがあることは分かる
そんなものを集めてきたい
蜜がある花があることは分かるが、何かは分からない

車を運転していて、加速と減速が入れ替わる瞬間
出発して加速する
減速して停車する
何回あるか、どのタイミングかわからないけど、どこかで家族から減速に入れ替わるとこがある

元が有限個の集合→有限集合
元が無限個の集合→無限集合

部分集合

花の集合の中に春に咲く花という集合がある
春に咲く花は花の部分集合
春に咲く花⊂花

A⊂B⇔Aの元が全てBの元
春に咲く花は全て花である

用語
Aの元全て→任意のAの元

偶数⊂整数
任意の偶数は整数

A⊂BかつB⊂CならばA⊂C

桜は春に咲く花であり、
春に咲く花は花であるから
桜は花である

140の倍数は14の倍数で、
14の倍数は7の倍数だから
140の倍数は7の倍数

A⊂BかつA⊃BならばA=B

わかりやすい例は自明すぎてわかりづらい

12の倍数と4と6の公倍数

12の倍数は4の倍数でもあるし、6の倍数でもある
12の倍数⊂4と6の公倍数
この段階では12の倍数以外にも4と6の公倍数があるかもしれない

4と6の公倍数は12の倍数になる
4と6の公倍数⊂12の倍数
4と6の公倍数以外にも12の倍数があるかもしれない

ただ、2つ合わせると
12の倍数=4と6の公倍数

A≠Bな集合

A=Bでないこと

AとBが重なってても違うもの
例えば
Aが2の倍数
Bが3の倍数
A≠B