【気づける？】こんなにも数学は美しい～あなたは亀より遅いです～

こんにちは、galoisです。自己紹介の記事しか出してなかったのですが今日から面白い数学をお届けします♪

こちらはなんで数学を発信しようと思ったかまとめた記事になります。後でもいいのでよかったら見てみてください。

①数学のパラドックスとは（飛ばしてok!）

数学の命題は”基本的には”正しいか正しくないかのどちらかなんですがなかには、
①正しいことが証明できない
②正しいとしても間違っているとしても矛盾が生じる
という命題もあります（いつか記事にしたと思ってます）。②の方をパラドックスと言います。英語で「逆説」という意味ですね。

ただもう一つ
③直感と答えがずれている（実際は正しいと証明できる）
ものもパラドックスと言ったりします。③のパターンは予想外の結末を迎えるのでめちゃめちゃ面白いです。

今回はそんな③のようなパラドックスで有名なゼノンのパラドックスの『アキレスとカメ』を紹介したいと思います！

②アキレスとカメ

アキレスというのはギリシア神話の英雄アキレウスのことで母親は彼を不死の体にするため冥府に流れる川にアキレスを浸しますがその時かかとを持っていたためかかと以外は不死なスーパー人間となります。

アキレスは戦争でかかとを射られて死んでしまいますがこのことがアキレス腱という名前の由来になっているようです。（Wikipedia）

（↑画像タップでアキレウスのWikipediaに飛びます）

アキレスとカメでは彼は足が速い代名詞で登場しますが、ここを変えてもさほど問題はないので主人公はあなたという設定で進みましょう！

あなたはカメとかけっこをします。カメはあなたの10メートル先でスタートします。あなたはカメを追い抜くことはできますか？

ちょっと考えてみてください。

追い抜けるの当たり前じゃね？って思いましたか？

もし追い抜けないと思ったあなたはカメより足が遅いだけなのでしょう（煽）

ですがここで僕が"あなたはカメを追い抜けない"という説明をしますね。

あなたがスタート時点でカメがいるところに行くまでにかかる時間でカメは少しなりとも動いてますよね？（▼が亀のスタート位置）

するとまた今度もカメが前にいるのでその場所にあなたが行くまでにまた更にカメは進みます。

これの繰り返しでカメがゆっくりだとしても進んでいる限りあなたは一生カメを追い抜くことはできません。つまり

とサイヤ人の王子の気分になるわけです（ドラゴンボールネタ）。

記録としてガラパゴスゾウガメで175年生きたカメがいるらしいので
追い抜くまで帰れまテンなどやろうものなら先にこっちがこの世に帰れまテンとなります。

今の説明どうですか。カメを追い抜けないはずがないという直感に対して答えは”あなたはカメを追い抜けない”なんですよ。

当然この説明は間違いなんですけど、どこが間違っているか見つけるのは簡単じゃありません。

このあと解説しますがその前にシンキングタイムを挟んでおきますね。どうしても分からないところまで考えるほど脳が活性化されますよ！

③アキレスとカメ答え合わせ

皆さん考えてみましたか？何でカメに追いつけないのか。それは無限回足し合わせても有限になることがあるからです。

カメに追いついても追いつくまでにカメは進んでいるのでまた同じことの繰り返しで無限回おこなっても追いつかないというのがさっきの説明でしたが、図で見てわかるように一回ごとにカメとの距離は縮まっていますね。

やがてほぼ0に近づくはずで、ほぼ0なものをいくら足そうがある数以上増えないというのが僕の主張です。

つまり塵が積もろうが山とならないのです。

え、そんなことあるの？って人のためにこちらを考えてみましょう。

前の半分ずつ足していくわけですけどこれは2に限りなく近づきますが2を超えることはありません。

この図を見れば一目瞭然ですね。残ったところを半分にしたのが次に足すやつなのでどれだけ足そうが2は超えないのです。

ってなわけで間違った説明では10m先のカメと競争してあなたが追いつくまでの時間を無限に分割していただけだったんですね！

なにはともあれあなたはカメを追い抜くことができるというわけです。めでたしめでたし(笑)

④まとめ

1.ほぼ0なものを∞回足し続けても∞になるわけではない
2.アキレスとカメでは追いつくまでの間を無限に分割しているトリックを使っていた
3.数学には予想に反した問題がたくさんある
4.数学は面白い

です。少しでも数学の魅力が伝わればうれしいです。飲み会のネタにも使ってみてね～

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今回も最後まで読んでいただきありがとうございました(^^)

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