数学的帰納法は演繹法？

はじめに

こんにちは。さいきゃんです。

学校の数学で学んだ数学的帰納法は演繹法であるという話を耳にしました。帰納法と表現されているのになんで演繹法って言われてるの？と疑問に思ったので調べてみました。

演繹法と帰納法

まず、推論に用いられる論理展開の種類によくあげられる2つの方法があります。それが「演繹法」と「帰納法」です。

演繹法とは、一般的な法則を前提として具体的な事柄を導く方法です。
例えば、

１．リンゴは樹木に実る。
２．果物は樹木に実る。
３．リンゴは果物である。

といったように一般的な事象から特殊化を行います。日常的に見かける例では三段論法も演繹法です。

帰納法とは、具体的な事柄から一般的な法則を導く方法です。
例えば、

１．リンゴは樹木に実る。
２．ミカンは樹木に実る。
３．果物は樹木に実る。

といったように特殊な例から一般化を行います。

数学的帰納法

では数学的帰納法はどうでしょう？
「自然数nに関する命題Pがすべての自然数において成り立つこと」を数学的帰納法を用いて証明したい場合

１．n=1の場合に命題Pが成り立つことを示す。
２．n=kの場合に命題Pが成り立つと仮定すると、n=k+1の場合も命題Pが成り立つことを示す。

という流れになります。
この流れをより詳しく分解すると

１．n=1の場合に命題Pが成り立つことを示す。
２．n=1の場合に命題Pが成り立つので、n=2の場合も命題Pが成り立つ。
３．n=2の場合に命題Pが成り立つので、n=3の場合も命題Pが成り立つ。
…

と続いていきます。この無限に続く命題の証明をまとめ上げて自然数nに関する命題Pがすべての自然数において成り立つという結論を導きます。1から順番に各自然数において命題が成り立つことを確かめるのが「演繹法」です。任意の自然数において命題Pが成り立つことをまとめ上げて、命題Pがすべての自然数において成り立つ結論を導くのが「帰納法」になります。

すなわち、数学的帰納法は演繹法と帰納法が組み合わさったものであるということです。

さいごに

一度学んだものを見返すと新たな学びが得られて楽しめるかもしれません。まとめて書いてみると思考の整理になって良いですね。他にもこういった疑問が生まれたら書いていこうと思います。