統計学の基本：分散の理解その2

前回は偏差について学びましたね。偏差とは、データが平均値からどれだけ離れているかを示す値です。偏差が大きいほど、データは平均値から離れており、ばらつきが大きいと言えます。これは、投資でいえばリスクが高いことを意味します。しかし、偏差だけでは全体のデータがどの程度ばらついいているかをつかむことができません。そこで、全体としてのデータのばらつきを示す方法を考えてみましょう。

分散の考え方

もし単純に偏差の平均をとればどうでしょうか。先ほどのファンドAの例を見てみましょう。

2000年　10,000円
2001年　10,350円　年間利率： 3.5%　→　平均との差：-1.5％
2002年　10,557円　年間利率： 2.0%　→　平均との差：-3.0％　
2003年　11,402円　年間利率： 8.0%　→　平均との差： 3.0％
2004年　11,516円　年間利率： 1.0%　→　平均との差：-4.0％
2005年　12,746円　年間利率：10.7%　→　平均との差： 5.5％

$$
\begin{array}{}
\frac{(-1.5)+(-3.0)+(3.0)+(-4.0)+(5.5)}{5}=0
\end{array}
$$

計算した結果、合計は0になってしまいました。これは、正の偏差と負の偏差が打ち消しあってしまうためです。

偏差の2乗を平均する

では、どうすれば良いのでしょうか。次に考える方法は、偏差を2乗し平均をとる方法です。また、ファンドAの例を見てみましょう。

$$
\begin{array}{}
\frac{(-1.5)^2+(-3.0)^2+(3.0)^2+(-4.0)^2+(5.5)^2}{5}=13.3
\end{array}
$$

この方法では、マイナスの値が問題にならずに、全データのばらつきを測定することができます。2乗を用いる理由は、数学的な扱いやすく、統計的な分析をしやすくするためです。絶対値を用いる方法もありますが、2乗の方が計算がしやすく、広く採用されています。

これで分散についての説明は終了です。平均と分散を用いることで、データの期待値とばらつきがどのように表されるかが理解できます。