分かるということ | 多角形の内角の和について考える

2023年7月23日 17:39

たとえば、三角形の内角の和が180度であることは、誰でも知っている。

きちんとした証明は、次のように(↓)、平行線の錯角と同位角が等しいという性質を用いればできる。

ペンを回しても、三角形の内角の和が180度になることがわかる(↓)。

２つの説明のうち、どちらか１つでも理解できたら「分かった」と言っていいと思うが、どちらが分かりやすいだろう？

とりあえず、三角形の内角の和が180度だということを認めて、次に、四角形の内角の和を考えよう。

四角形の場合は、対角線を一本引けば、三角形が２つできるから内角の和は
180 × 2 = 360
ということで、「360度」になることがわかる。

五角形も１つの頂点から対角線を引けば、三角形が３つできるから
180×３＝ 540
だから、内角の和は540度になる。

これまでにやったことから、
三角形は、三角形が１つ
四角形は、三角形が２つ
五角形は、三角形が３つだから、
ｎ角形は、三角形が(ｎ－２)になるだろうと予想できる。

六角形ならば、
180 × (６－２)＝ 720(度)と求めることができる。

これを公式として覚えておきましょうね！、と言って終わりにしてもいいのだが、①の「公式」を変形してみると、

180 × (ｎ－２)
＝180 × ｎ－180 × ２
＝180ｎ－360

なので、
ｎ角形の和は

と覚えてもいい。

式を変形しただけなので、計算して出てくる値は当然同じなのだが、考え方が異なる。

②はこういうふうに考えると導くことができる。

たとえば五角形の内部に、任意の点Ｏをとって、頂点と結ぶと次のようになる。

五角形だから、辺の数と同じ数(５個)の三角形が描ける。

しかし、求めたいのは、「内角の和」だから、点Ｏのまわりの分の角度、つまり360度(↓の図の赤丸⭕)を、180 × ５から引かなければならないから、

180 × ５－360 ＝ 540(度)となる。

①のほうが計算が楽だが、もし公式を忘れてしまったら、②のほうが分かりやすいと思うがどうだろう？

人それぞれだとは思うが、公式を「分かる」「理解する」とは、導き方を理解することだと思う。
公式に当てはめて、正確に計算することより大切なことだ。

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