モンティホール問題

　いつもご愛読ありがとうございます♪
今回は、私の大好きなクイズを皆さんに共有したいと思います♪

※以降、敬称略。

　モンティホールとは、アメリカの有名なクイズ番組の司会者の名前（Monty Hall）だ。そのクイズ番組で出題された問題がモンティホール問題である。

この問題の面白い点は、直感と理論の相違である。

1.question

　プレーヤーの前には閉じた3つの扉がある。
これらの扉のうち、1つは当たりの扉で、残り２つはハズレの扉である。
当たりの扉の奥には新車があるが、ハズレの扉の奥にはヤギがいる。

プレーヤーは当たりの扉を開けると、新車が貰える。
ハズレの扉を開けると、もちろん何も貰えない。
プレーヤーは以下の手順を踏まえて扉を１つ開ける。

step1.
プレーヤーは３つの扉のうち、１つの扉を選択する。
（この段階では、まだ扉を開けない。）

step2.
番組の司会者（Monty）は、プレーヤーが選んだ扉以外の２つの扉のうち、ハズレの扉を１つ開ける。
これで閉じた扉は２つになる。
ハズレの扉を１つ開けたことにより、閉じた扉の片方の扉は当たりの扉、他方の扉はハズレの扉になる。

step3.
ここで、プレーヤーには扉の選択権が再び与えられる。

A.
初めに選んだ扉を開ける

B.
初めに選んだ扉ではなく、もう片方の扉を開ける。

さて、プレーヤーはAとBのどちらの選択をすべきだろうか？

2.answer

答えは、Bである。

○解説

Aの選択をすると、3分の1の確率で当たる。
Bの選択をすると、3分の2の確率で当たる。

∴Bの選択をすべきである。

☆Aの選択が当たりの確率の理論
　Aの選択は、3つの扉から１つの扉を選ぶのとなんら変わりがない。
当たりの扉を開ける確率は当然に3分の1である。

☆Bの選択が当たりの確率の理論
　Bの選択は、初めに選んだ扉が当たりの場合と、初めに選んだ扉がハズレの場合に分けて考えると理解しやすい。
・初めに選んだ扉が当たり（3分の1の確率）の場合は、step2のあと、選択を変更すると、ハズレの扉になる。
・初めに選んだ扉がハズレ（3分の2の確率）の場合は、step2のあと、選択を変更すると、当たりの扉になる。
∴扉を変更する場合の当たりの確率は3分の2である。

3.考察

この問題の面白い点は、直感と理論が異なる点です
理論は先程述べたので、ここでは直感を見てみましょう。

⭐︎直感
step2で閉じた扉が２つ（片方が当たり、他方がハズレ）になったことにより、閉じた扉のどちらの扉を選んでも確率は2分の1で当たりを引く。
∴どちらを選んでも、当たりを引く確率は同じ。

どうやら、この考えを持っている人は、上記の理論を聞いても理解出来ない人が多いみたいです。

この点が面白いですね♪

そのような人でも理解して頂ける方法はないかと、数学好きの友人に聞くと、

「それはベイズの定理ですね。」

と言われました。

ベイズの定理？？

（計算式があり、解説するのが大変そうなので、簡単に説明させていただきます。）

要は、このような意味らしいです。

☆100個の扉がある。
このうち、99個はハズレで1個は当たり。


step1.
プレーヤーは100個の扉のうち、１つの扉を選択する。
（この段階では、まだ扉を開けない。）


step2.
司会者はプレーヤーが選んだ扉以外の99個の扉のうち、98個のハズレの扉を開ける。
これで、閉じた扉は２つになる。
片方が当たりで、他方がハズレ。


step3.
ここで、プレーヤーには扉の選択肢が再び与えられる。
a.初めに選んだ扉を開ける
b.初めに選んだ扉ではなく、もう片方の扉を開ける。

プレーヤーはaとbのどちらの選択をすべきだろうか。

このように聞くと、直感的にも誰もがbの選択をするだろう。



ここで、正確に確率を述べられるようになれば、モンティホール問題も理解できるようになります！

○解答
aの選択が当たる確率は、100分の1。

bの選択が当たる確率は、100分の99。

理解して頂けたでしょうか！！！

また面白いクイズがあったら紹介しますね〜♪

私のオリジナル小説の紹介もしておきます！
よかったら、是非読んでみて下さい♪

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