2022東大物理対策シリーズ 問題演習98
来年2022年度東大入試(物理)に立ち向かう新受験生の皆さま、こんにちは。2021年3月3日(水曜日)、本日も私との楽しい触れ合いのお時間がやってまいりました。本日は楽しいひな祭り🎎ですが、勉強ほったらかしにしてルンルン気分で浮かれていてはダメです。受験はそんなに甘くないのです。甘いのは甘酒だけで結構です。
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≪問題演習98≫
【教材】問題と私のオリジナル解答例です
✅ 教材は印刷してコクヨフラットファイルにファイリングしていってください。東大物理対策に特化した特別問題集が徐々に出来上がっていきます！
【出典】
2021年度(前期) 東京大学 第1問
【テーマ】
ブランコの運動
【コメント】
2021年度東大入試も無事終了し(※無事かどうかは人による)、来年2022年度東大入試へ向けての新たなスタートとなりました。
当シリーズでは今回から3回にわたって今年2021年度の東大物理全3題を取り扱っていきます。「彼を知り己を知れば百戦殆うからず」です。まずは彼(東大)を知らなければどうしようもありません。皆さまはS欄東大様のことが大好きなのでございましょう？ だったら大好きな彼のことをもっと知ろうとするのは当然の理です。
今年2021年度の東大物理第1問はブランコの運動がテーマでした。
各設問の中で
〇 非等速円運動
〇 力学的エネルギー保存則
〇 運動量保存則
〇 放物運動(水平投射)、水平飛行距離
〇 面積速度一定
の理解が問われました (※当シリーズで全て取り扱い済みです)。
本当に素晴らしい内容でした。高校生にちゃんと理解しておいてほしい重要事項を真正面から正々堂々と問うてきたことに感激です。問題設定もすなおで迷うところがありません。やはり東大の入試問題は他大学と比較して格が全く違います。さすがは我らがS欄東大様です。
それではいつものように設問ごとにコメントしていきます。
■ Ⅰについて
まずはブランコの基本的な運動を考えます。皆さまおなじみの非等速円運動です。
エネルギー保存則を立式します。丁寧な誘導がついています。理物の先生方がお優しいのは世界の常識ですが、ここまでお優しいとはいったい誰が予想できたでしょうか。というか、ここまでくるとただの甘やかしです。
重力による位置エネルギーの基準はどこにとってもよいのですが、本問では支点Oにとるように指示があるのですなおに従いましょう。
重力による位置エネルギーの基準の他のとり方としては、
① 床の位置
② ブランコの最下点の位置
もあります。ただし支点Oの位置を基準にとったほうが簡単となります(∵極座標との親和性)。
🌟 円運動が絡んでくる場合は重力による位置エネルギーの基準を回転中心にとると便宜なことが多いことは知っておくとよいでしょう。
■ 理物の先生方がお優しいのは世界の常識
そういえば以前、ツイッタランドでアンケートを取ったことがありました。
そのときの結果がこちらです(↓)。
一体誰ですかね、大鬼しかおらんとか失礼なこと申されてるのは。🥺
このアンケート結果は明らかにダウトです。実体と大きく乖離しておりますので誤解のなきようよろしくお願い申し上げます。
■ Ⅱ(1)について
運動量保存則です。左向きを正として立式します。
運動量保存則の式は [前]＝[後] の順で書くのが自然です。この順番で書くようにしましょう。
🌟 ただし[前]の運動量が0の場合は [後]＝0 と書くことも多いです。
■ Ⅱ(2)について
放物運動(水平投射)の基本問題です。
落下時間(滞空時間)を求めてからGG'=vA・tとするのがすなおな解法です。
v0はⅠ(ウ)の結果を使います。θ=0なのでv0=√{2gl(1－cosθ0)}となります。
数値計算も計算しやすい数字が選ばれています。
数値計算の結果は1.2mとなりました。現実的に妥当な値ですのでどうやら合ってそうだなと一安心できます。
🌟 もし100mとかになったらどこかおかしいですよ！泣きながら答案を見直してください。
■ Ⅲ(1)について
いよいよここからが本問のメインディッシュ🍴となります。
まず最初はエネルギー保存則の立式です。
今考えているのはブランコの長さがℓ－Δℓになった以降の運動です。頭ではわかっていたはずなのについうっかり「ℓ－Δℓ」の部分を「ℓ」としてしまうケアレスミスをやっちゃいがちです。
・・・あ、もしかしてやっちゃってました？
やっちゃってた人は今ここでしっかりと反省して次回以降絶対にやっちゃわないようにしてください。
簡単な図を答案に描く習慣をつけるとこのようなケアレスミスを防げます。
エネルギー保存則の式も [前]＝[後] の順で書くのが自然です。この順番で書くようにしましょう。
■ Ⅲ(2)について
面積速度一定の式を使ってv'を消去します。
大学入試問題では面積速度一定の式は問題文で与えられることが通例ですと当シリーズでこれまで何度も書いてきましたが、今回の東大の問題もそうでした。面積速度一定は角運動量保存則と表裏一体なので、これを知識として出題してしまうと天下の文科省からお叱りを受けるのでしょう。
面積速度は 「1/2・r・v」の順で書くのが自然です(∵角運動量との関連性)。今回の東大の問題でもそのようになっています。さすがは我らがS欄東大様、細かいところまで配慮がよく行き届いています。
一方でF欄の入試問題では面積速度が「1/2・v・r」の順で書かれているものをよく見かけます。申し訳ないけどお話になりません。
あとは計算だけです。Ⅱ(2)と同様、vはⅠ(ウ)の結果を使います。θ=θ'なのでv=√{2gl(cosθ'－cosθ0)}となります。
■ Ⅲ(3)について
(θ'')^2=A・θ0^2－B・(θ')^2 (B>0)の形より、θ'=0のときに(θ'')^2は最大となります。
答える最大値は(θ'')^2ではなくθ''であることに注意です！
■ Ⅲ(4)について
Ⅲ(3)までできればあとは簡単です。等比数列です。数弱でもこのくらいはできますよね？
■ Ⅲ(5)について
Ⅲ(4)の結果を使って数値計算します。N=5回です。現実的に妥当な値ですのでどうやら合ってそうだなと一安心できます。
🌟 もし1000回とかになったらどこかおかしいですよ！泣きながら答案を見直してください。
参考までにサイクル回数(ブランコを漕いだ回数)とブランコの角度の関係のグラフを補足資料に描いておきました。Δℓ/ℓ が大きいほうが少ないサイクル回数でブランコの角度が最初の角度の2倍に到達することが分かります。
子どもの頃にがんばってブランコを漕いだときのことを思い出してみてください。大きく屈伸したほうが少ない回数でブランコの角度が大きくなっていったはずです。あの事実が今、見事に示されたのです！
■ 総評
「彼を知り己を知れば百戦殆うからず」ということで今年2021年度東大物理第1問を演習して頂きました。高校物理(力学分野)の多くの重要事項が真正面から正々堂々と問われました。非常に素晴らしい出題内容です。
《今回の演習を通して学んで頂きたいポイント及びアクションプラン》
① 重力による位置エネルギーの基準のとり方は任意であるが、指定されている場合はそれに従う。
② エネルギー保存則、運動量保存則を教科書参考書で確認しておく。
③ 数値計算問題では結果の値の妥当性を考えることは有用。
今回の記事は以上となります。
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