【現役東大生が解説】中学受験の面白い問題を紹介します！③

みなさん、こんにちは！
現役東大生ライターの松岡頼正です。
 
この連載では中学入試の面白い問題を、詳しい解説込みで紹介しています。
 
前回の記事では特別編として、漢字パズルの問題をご紹介しました。 

今回は、西暦の数字が入った算数の問題を扱っていこうと思います。

まずこちらの問題を見てください。

２０１６は各位の和が９となる４けたの整数です。
 
このような整数を小さい順に並べると次のようになります。
 
１００８, １０１７, １０２６, １０３５, … , ９０００
 
この数の列について、以下の問いに答えなさい。
 
（１）２０１６は何番目にありますか。

2016年度 麻布中学入試問題 算数 大問５より

こんな風に、西暦の数字は中学入試や算数オリンピックの問題の題材にされることが多いです。
 
事前にその数字の性質を知っておくと、有利になることもあるかもしれません。
 
そこで問題を解く前に、２０２０から順にそれぞれの年の数字がどんな約数を持っているか、ちょっと確認してみましょう。

・西暦の数の性質 

まず２０２０は見ての通り２０で割り切れるので、２・２・５が因数にある事がわかります。
 
２０２０を２０で割った１０１は素数なので、これ以上因数分解をすることはできません。
 
ここから、「もし２０２０が絡む問題で他の項に１０１の倍数が出てきたら、１０１を共通因数としてまとめられるはずだ」と考えられますね。
 

では、次の２０２１に進みましょう。
 
これは奇数で、かつ３でも７でも１１でも割り切れないので、「さすがに素数でしょ」と思った人も多いでしょう。
 
でも実は、これ素数じゃないんです。まさかの４３で割り切れるんですよね。
 
しかも、割った商は４７。これは正直難しいと思います。
 
本番で２０２１を使った問題が出されてこれに気づけるかと言われれば、怪しいところです。
 
もし気づくとしたら、こんな手順で考えた場合ですね。 

①２０２１は５０×５０＝２５００より小さい
　↓
②２０２１が素数の約数を持つと仮定する
　↓
③５０以下の素数（２・３・５・７・１１・１３・１７・１９・２３・２９・３１・３７・４３・４７）を総当たりで調べる 

これでもかなり大変ですけどね。２０２１年度の受験生の中には、これで苦しめられた人もいるかもしれません。

次に２０２２です。これは２でも３でも割れるので、分かりやすいですね。
 
では２と３をかけた６で割ってみましょう。割った答えは３３７で、これは素数です。
 
先ほどの①②③の手順で考えると、３３７は２０×２０＝４００より小さく、２０までに素数の約数を持たないことから、これは素数だと分かります。
 
３３７が途中計算で出てきたら「怪しい」と思えると勝ちです。 

次に２０２３です。これは私の友人がすぐに「７の倍数だ」と判定した鮮やかな手法があるので、ご紹介しましょう。
 
彼が言うには、２０２３に７を足すと、２０３０。
２０３０に７０を足すと２１００。
２１００は明らかに７の倍数なので、２０２３は７の倍数だと。
 
最初に聞いた時は感動しました。これ以上きれいな回答は正直思いつきませんね。
 
ちなみに、２０２３は７で割ると２８９。２８９＝１７×１７なので、分かる人は割とすぐに因数分解できる数字ですね。

 

さて、いよいよ今年度の数字、２０２４です。
 
２０２４＝２０００＋２４なので、これは明らかに８の倍数ですね。

８で割ってみると、商が２５３です。
 
２５３は２２０＋３３と表せるので、１１で割れます。

つまり、２０２４＝８×２５３＝２×２×２×１１×２３となります。

 

次は２０２５、来年度の受験生は要チェックですね。
 
実はこれは簡単で、２０２５＝４５×４５です。

さらに４５は３×３×５なので、２０２５＝３×３×３×３×５×５になります。
 
３と５の因数だけで表せる数字なので、これもネタにされそうですね。

 

その次の２０２６にいきましょう。

２０２６＝２×１０１３となり、１０１３は素数なので、計算はこれで終わりです。
 
こんなに大きい素数はちょっとネタにしにくいので、問題になる可能性は例年より低そうです。
 
さらに次の２０２７は、そもそも最初から素数です。これ以上語ることはありません(笑) 

こんな感じで、西暦というのは年によって約数がとても多かったり、逆に素数だったりします。みなさんが試験を受ける年はいくつ約数を持つのか、試しに考えてみるといいでしょう。 

・問題の解説 

さて、前置きが長くなりましたが、ここから冒頭の問題の解説に移りましょう。