【2024年東大理系数学】有名予備校の解答に強烈ダメ出し？え！？これヤバイやつやん！【1】
この記事の中では、現在ネット上のあちこちで公開されている【2024年 東大入試 理系数学 第6問 (2)】の模範解答をことごとくメッタギリしちゃってます。
なぜこんなことが可能かといえば、すでに私はこの問題の形式証明（formal proof）を完成させて手元に持っているからです。だからこそ数学的根拠をもって指摘できるわけです。
いやー、下記の並びを見てもらうとかなり壮観な眺めですよねー。
この並びにことごとくダメ出しって、相当ヤバイやつやんこれ、、、。
2024年 東大入試 理系数学 第6問 (2)
さて、これが懸案の東大入試2024年 理系数学 第6問 (2)です。
(2) a, b を整数の定数とし、$${g(x) = x ^ 3 + a x ^ 2 + b x}$$ とする。$${g(n)}$$ が素数となるような整数の個数は3個以下であることを示せ。
まず、この問題はですね、まともにやると絶対に試験時間内には終了しないんですよ！！
（なお、私はこの記事を最初に発表した時点(2024年6月15日現在)で、すでにこの問題についての形式証明(formal proof)を完了して正しい証明項を得ており、その結果としてお話をしています。だからこそ試験時間内には証明が終了しないと断言できますし、様々な方がネット上で公開している解答が証明として不十分であることがはっきりとわかっています。なお証明項はGithubのプライベートレポジトリに保存済みです。しかるべき時期にしかるべき形で公開する予定です）
受験生視点で考えると
というわけで、この問題が試験時間内には解き終わらない仕様となっている以上、受験生として試験会場でこの問題に遭遇したら「どれぐらい早い時間で切り捨てるか」もしくは「どれぐらい手を抜いて書いて部分点を狙うか」が問われます。絶対に完答することは無理です。無理なので、他の受験生の誰もが完答していないことを前提に、いったい東大の採点者はどこに配点するか、を検討することが重要です。
試験後に解く側として
一方で、入試終了後に解いた人間であれば時間の制限があるわけではありません。ですから模範解答として掲載する以上は、完全に証明を完成させるべきではないでしょうか？ ご自身でしっかりと証明を完成させた上で、受験生に対しては試験場ではどのように振る舞うべきか提案するべきでしょう。
出題者の意図を踏まえると
また、別の視点からは、この問題を入試問題として出題した、東大の入試問題担当者の出題の意図を深く考察せざるを得ません。
まずこの問題は、一見すると素数の整数問題ではありますが、この手元の完成した形式証明（formal proof）から鑑みるに、高校数学の数学Aで学ぶ「組み合わせと場合分け」の初歩（ではあるけれども本質）が問われていると考えられます。ところがネット上に転がる（私が探せた限りの）解答が、ことごとく適切に「場合分け」できていません。むしろとってもとっても素直な高校生のほうがきちんと場合分けできるんじゃないかなー。と思わなくもありません。
さらに素数の問題なのですから、核心的な部分では素数に関する性質を用いて解答するのが数学的に美しいです。少なくとも私はそう思います。（はい。ここでのちほど明かす仕掛けをひとつ仕込んでおきました。前フリというやつですね。一部の方はもうお気づきですかね？ 好きですよ！！そういう鋭い方。そう、あなたのことです！）
それと、整数問題は、整数のまま解くことが可能なのであれば（有理数や実数の問題として解くのではなく）整数のまま解くのが美しいように思います。この辺りは好みかも知れませんが。
パパ視点 - 整数問題の今後について
あるいは、改定された学習指導要領の観点からは、来年以降、「整数」の単元がどのように扱われるのかなー。わずか数年後に受験を控えた子どもたちのパパとしては、それもとても気になるところです。
（閑話休題）望月教授のABC予想の証明について
ところで、本件の形式証明を完成させる過程においては、私の心の中にはどうしても望月新一教授のABC予想の証明の件が浮かんできてしまうのです。ご存知のように、望月教授の証明は論文誌に掲載されたにも関わらず、この証明が世界中で受け入れられたとはとても言い難い状況にあります。
一方でこの東大入試2024年 理系数学第6問に関しては、私の手元に正確な形式証明（formal proof）があります。ですから私が持つ「正しい形式証明（formal proof）」を示すことで、私は完成させた自らの証明の正当性を数学的根拠をもって簡単に示せますし、他人に対して「あなたの証明にはギャップがあるからここが証明として完成していない」と数学的根拠をもって簡単に示すことができるわけです。
ところがまだ誰も形式証明（formal proof）を持っていないABC予想に関してはとても不幸な展開となっています。
望月教授は海外の数学者から「あなたの証明にはギャップがあるから証明として完成していない」と指摘されましたが、その指摘をした当の数学者自身が正しい証明項を持ち合わせていないために正鵠を得た指摘でそのギャップを埋めることはできず、かといって望月教授ご自身も形式証明（formal proof）を持ち合わせていないために、望月教授ご自身がいくら「証明として完成していること」を説明しているつもりでも、それが世界中で受け入れられているとは言い難い状況なのです。もしも望月教授さえ形式証明（formal proof）に前向きになってくれたら、、、。そう願わずにはいられません。
ただし、残念ながら望月教授はご自身のブログの中で下記のように述べていらっしゃることから、僭越ながら申し上げると望月教授はどうも形式証明（formal proof）の持つ数学的根拠に対する理解が不足しておられるように感じてしまいます。
またこのような文脈においてもう一つよく聞かれることですが、
宇宙際タイヒミューラー理論を巡る誤解
は計算機による、理論の正否確認によって
解消できるのではないか
という質問ですが、幸か不幸かは別として、そういう性質の問題ではありません。[EssLgc]の§3でも詳しく解説していることですが、理論の誤解されがちな側面を、基礎的論理演算子
'∧'（＝「AND」）・'∨'（＝「OR」）
の列で記述すると、（上でも指摘した通り、）それほど複雑な論理構造ではありませんし、計算機を用いるまでもなく、簡単に正否を確認することができます。また仮に何等かのソフト・アルゴリズム等を計算機上で走らせて「確認できた」という報告があがったとしても、元々懐疑的な観察者からすれば、ソフト・アルゴリズム等による理論の正否確認の仕組み自体の正否確認に疑問が生じることになるだけで、議論が収束する可能性は極めて低いと考えざるを得ません。
件の数学者からの指摘に端を発して世界中の少なからぬ数学者からABC証明の完成について疑義を抱かれてしまっている現状を見ていると、同じ日本人として悲しい気持ちになります。
そして、たとえ形式証明（formal proof）がすぐには完成せずとも、「ABC予想の形式証明（formal proof）に前向きである」旨を望月教授ご自身が宣言されるだけでも、形式証明（formal proof）の数学的根拠を拠り所として、世界の数学者の誰もが、決して無視することはできなくなることは明らかであるにも関わらず、上記のように望月教授ご自身が形式証明（formal proof）を完成させる取り組みを拒む言葉を発していらっしゃるばかりに混迷が深くなってしまっているように見受けられてなりません。
なんとか望月教授に形式証明（formal proof）に対する見識を改めていただくことは難しいものなのでしょうかね、、、。
（ちなみに遠アーベル幾何学に関しては形式証明（formal proof）のプロジェクトがすでに進行中の模様 → https://anabelian.org/ IUTについてこうした発表を行うだけでも状況は変わってくるのではないでしょうか？）
（閑話休題、ここまで）
さて、以下はこの記事の本題です。
東大入試2024年 理系数学 第6問(2) これじゃ証明になってないでしょ！ リスト
下記は、検索してネット上で見つけたこれじゃ証明になってないでしょ！という解答の一覧です。
駿台予備校
駿台予備校さんの解答は、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
昨年の秋にたった一日オンライン講義を受講しただけ、しかもその当日に初めてインストールしましたが、その日のうちに使えるようになりましたよ。とても便利です。
河合塾
河合塾さんの解答は、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
昨年の秋にたった一日オンライン講義を受講しただけ、しかもその当日に初めてインストールしましたが、その日のうちに使えるようになりましたよ。とても便利です。
代々木ゼミナール
H：g(n) が素数となる整数 n が少なくとも 4 個存在する
代々木ゼミナールさんの解答は、この仮定を立てるところまでは良いですね。では、この仮定をdestructすると一体いくつの場合分けになりますか？ 証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
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ホクソム
ホクソムさんの解答は、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
昨年の秋にたった一日オンライン講義を受講しただけ、しかもその当日に初めてインストールしましたが、その日のうちに使えるようになりましたよ。とても便利です。
メタスキリング
解の個数が4個以上となるパターンは以下の8パターンです。この8パターンを漏れなく否定することが本問では重要です。
メタスキリングさんの解答は「漏れなく否定することが重要」という視点は正しいのですが、残念。8通りと言ってしまっている時点で場合分けに漏れが生じていて適切な場合分けができていないことを示してしまっています。どこで間違ってしまっているかというと、まず解の個数が4個であることを仮定するためには関数からxを4個生成しなければなりません。そしてその4種類のx1, x2, x3, x4それぞれについて、x=1, x=-1, f x=1, f x=-1の4種類の場合が存在するわけです。それなのにメタスキリングさんの証明ですと、ここで勝手にx1が1, x2が-1, x3が、x4が、と都合よく決め打ちで仮定してしまっていてその場合のみしか証明していません。そのために示さなければならない矛盾のパターンに漏れが生じているのです。これはメタスキリングさんだけでなく他の多くの解答もそうなのですが、最終的に示すべき矛盾パターンを3種類として解答していますが実際には違います。示すべき矛盾のパターンが3種類では漏れがあるのです。これはメタスキリングさんが勝手にそれぞれのxに対して都合良くどの種類なのかを割り当ててしまったために生じている漏れです。 もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
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なかけんの数学ノート
なかけんの数学ノートさんの解答は、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
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MathClinic
題意の 𝑛 が４つ以上あるとしたらヤバイのか？
そう。MathClinicさんのこの視点は正しいです。では証明しなければならない場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
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なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
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数学家庭教師は(有)峰企画
数学家庭教師は(有)峰企画さんも、8通りに場合分けしていますね。しかし、残念ながら場合分けは8通りではありません。メタスキリングさんのところに書いた説明を読んでみてください。つまり、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
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大学受験in北海道
大学受験in北海道さんの解答は、適切に場合分けができていません。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
昨年の秋にたった一日オンライン講義を受講しただけ、しかもその当日に初めてインストールしましたが、その日のうちに使えるようになりましたよ。とても便利です。
ちょぴん先生の数学部屋
最初nの候補は、
あとは、nが4つあると仮定したときに矛盾を導く背理法で、nが3つ以下なことを示していきます。
ちょぴん先生の数学部屋さんの、この証明の方針は完全に正しいです。正しいですから、ここでしっかりと場合分けして欲しいと思います。証明する必要がある場合分けは何通りでしょうか？ もう一度よく考えてみましょう。
もしも「いやいや絶対にこれで証明できているんだ！」と言い張るならどうぞあなたの証明方法で形式証明を完成させてみてください。どこで証明が行き詰まるかご自身ですぐにご理解されるでしょう。
なお、形式証明のやり方を知らないというのであれば、どうぞ学んでください。
ちなみに私が今回の形式証明に利用したソフトウェアはLeanです。（他にもCoqなどが有名です）
昨年の秋にたった一日オンライン講義を受講しただけ、しかもその当日に初めてインストールしましたが、その日のうちに使えるようになりましたよ。とても便利です。
あとは現時点でここで取り上げていないメジャーな解答としては、、、
下記の通り鉄緑会の東大過去問の発売が7月末のようですね。
各模範解答の証明の誤りを具体的に指摘するのは、それが発売されるのを待ってからにしようかと思っております。まぁ、一ヶ月半もあれば当然に私以外にも多数の方が形式証明（formal proof）の完成にたどり着いちゃってるでしょうけども。（と煽っておきます）
本当は鉄緑会さんだけでなく、SEG, ヴェリタス, グノーブル, などの塾の解答や、メタスキリングさんのページを見た流れで知った sss educationさんや 合格の天使さんの解答も見てみたかったんですけれどもね、、、。
さて、いかがだったでしょうか？
他にも2024年の東大入試の理系数学を解いてみた系の記事はいくつもあるかと思いますが、この辺りにしておきましょう。
これがもしも私が形式証明（formal proof）を完成させていなければ、どちらの言っていることが正しいか？となると、
いやいや、ほとんどの塾の講師がそう言ってるんだからそっちの解答のほうが絶対に合ってるでしょ！！
と、そう思う受験生がほとんどなのではないでしょうか？ 私なんかの言うことを正しいと言う人間など誰一人いなかったことでしょう。
しかし、形式証明（formal proof）さえあれば話が違ってくるのです。たとえ日本中のすべての受験生が否定しようとも、たとえどこの大学のどんなに偉い教授が否定しようとも。
世界中の数学者が数学的に完全に正しいと認めるのは、私の手元にあるこの、型理論による完璧な数学的根拠を備えた完全無欠の形式証明（formal proof）なわけです。
先ほど私の心の中に望月教授のABC予想の証明の件が浮かんできたと申し上げた理由がなんとなくわかっていただけたでしょうか？
それでは今回はこの辺りで。
諸々、ご連絡はこちらからどうぞ
【2】に続く。
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