命題論理の演繹における健全性・完全性に関する現時点での見解

導出原理によるトートロジー・矛盾判定に関して、サイト運営者の方が内容を修正されました。 私の方も以下の記事を非公開にしました。 こちらの内容に勘違いの部分がありました。すみません。 たとえば (Ａ∨￢Ｃ)∧(Ｂ∨￢Ｄ)∧(￢Ａ∨￢Ｂ)∧(Ｃ∨Ｄ) 〜> (￢Ｃ∨￢Ｂ)∧(Ｂ∨Ｃ) 〜> ￢Ｂ∧Ｂ⇒Ｆ ではなくて、 (Ａ∨￢Ｃ)∧(Ｂ∨￢Ｄ)∧(￢Ａ∨￢Ｂ)∧(Ｃ∨Ｄ) 〜> (￢Ｃ∨￢Ｂ)∧(Ｂ∨Ｃ) 〜> ￢Ｂ∨Ｂ（⇒T?） とするべきでした。これでは”反例”と

演繹論理の健全性への疑問：“証明”されるがトートロジーではない命題論理

　「真偽の概念がどのように演繹法と関連して現れてくるかということにだけ着目する」（前原昭二著『記号論理入門』日本評論社、61～62ページ）ということは、まずは演繹論理があり、それに“真理値”というものを対応させて“真理表”を成立させる、という順序になる（論理学とはいったい何なのかの記事も参考までに）。 　前原氏はＢ→(Ａ→Ｂ)を以下のように”証明”されている。 　同様の論理で以下のようにも証明できる。 同様にＢ→(Ａ→Ａ)を導くこともできる。 　しかしである。果たして、Ｂ

論理空間における「可能性」、 広く誤解されているので、(その道の専門家の方たちにも)ぜひ以下の記事、読んでもらえたらうれしい(？)です… 想像可能性と実現可能性とを混同しているのではないか https://note.com/keikenron/n/n481448e7d53e

トートロジー（回路）、矛盾（回路）となる条件

　Ａ∧Ｂ∧Ｃ∧Ｄというふうに、異なる命題を直列に繋げても矛盾回路になることはない（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄあるいは￢Ａ、￢Ｂ、￢Ｃ、￢Ｄがリテラルの場合）。Ａ、Ｂ、Ｃ、ＤがそれぞれonであればＡ∧Ｂ∧Ｃ∧Ｄもonになるからだ。これはＡ∧￢Ｂ∧Ｃ∧￢Ｄというふうに￢が加わっても同様である。Ａ、￢Ｂ、Ｃ、￢ＤがそれぞれonであればＡ∧￢Ｂ∧Ｃ∧￢Ｄもonになってしまう。 　つまり矛盾回路であるためには、Ａ∧￢Ａ∧Ｂ∧Ｃ∧Ｄのように、どこかにＡ∧￢ＡあるいはＢ∧￢ＢやＣ∧￢Ｃという矛盾回路が

（余計なお世話かもしれないが）論理学への誤解をなんとかしたい

今は 論理学的トートロジーというもののからくり、 (Ａ→Ｂ)≡(￢Ａ∨Ｂ)という”設定”の働き といったものを解明しようとしているところです。前原氏の完全性の説明（証明）に関して、その前提のようなものについてあれこれ考えています。 論理学とはいったい何なのか という記事に、うちにしてはやや多めのいいねがついていますが、 私の主張を理解してくださっているのか、少々疑問ではあります。 ちゃんと読んでくれているのかな・・・？ 論理学における命題論理は普遍的真理ではありませ

命題論理の完全性の証明？：トートロジーのからくり

　前記事の応用である。 (Ａ∧Ｂ∧Ｃ)→Ｄ がトートロジーであるとする。 (Ａ∧Ｂ∧Ｃ)→Ｄ は、 (Ａ∧Ｂ)→(Ｃ→Ｄ) Ａ→(Ｂ→(Ｃ→Ｄ))　というふうに（同値のまま）変形できるが、一方で、 (Ａ∧Ｂ∧Ｃ)→Ｄ (Ａ∧Ｂ∧Ｃ)→(￢￢Ｄ∨⋏) (Ａ∧Ｂ∧Ｃ)→(￢Ｄ→⋏) (Ａ∧Ｂ∧Ｃ∧￢Ｄ)→⋏ ・・・というふうに（→の左側、左辺・前件を）矛盾回路へ導くこともできるのである（もちろん論理式全体としてはトートロジーが維持されている）。 　このように、おそらくす

トートロジーのからくり？の一つ

　以下の前原の証明について、これを回路分析的に考えてみよう。 ・・・これは(Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ)という前提からどんな命題を導けるのかという問いでもある。(Ａ∧￢Ｂ)からはＡと￢Ｂが導かれ（∧除去）、それぞれが（Ａ→Ｂ）とどのように影響しあうのかを見ていくのである。 (Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ) は、 Ａ∧￢Ｂ∧(￢Ａ∨Ｂ) と変形できる。これを図45のように回路図で示せば、これが矛盾回路であることがよく分かる。 図45Ａ∧￢Ｂ∧(￢Ａ∨Ｂ)は矛盾回路 　つまり((Ａ∧￢

命題がトートロジーかどうかを回路分析で確かめる

(Ⓐ∨Ｃ)≡((Ⓐ∧￢Ｃ)∨Ｃ)のⒶには様々な命題が代入可能 　まず、 (Ａ∨Ｃ)≡((Ａ∧￢Ｃ)∨Ｃ)の応用である。Ａの部分が未知の複合命題であったらどうであろうか？ 仮にⒶとして回路分析をしてみよう（図42）。 図42 (Ａ∨Ｃ)≡((Ａ∧￢Ｃ)∨Ｃ)のＡの部分には様々な複合命題を代入可能 ・・・つまりⒶはＡ∧Ｂでも良いし、Ａ∧Ｂ∧ＤでもＡ∨Ｂでも良いということになる。 　この規則を用いて他の命題について分析してみよう。 (Ｐ→(Ｑ→Ｒ))→((Ｐ→Ｑ)→(Ｐ

連言∨選言トートロジー（回路）２／命題変数が４つの場合

連言∨選言トートロジー（回路）２ 　命題変数が４つの事例を扱う前に、もう少し複雑な連言∨選言トートロジー（回路）について説明しておく（図38の回路）。論理式は(￢Ａ∧￢Ｂ)∨(Ａ∧￢Ｃ)∨(Ｂ∧￢Ｄ)∨Ｃ∨Ｄであるが、同一の命題変数ならば￢と肯定が入れ替わっても回路全体としてはトートロジーである。たとえば(Ａ∧Ｂ)∨(￢Ａ∧Ｃ)∨(￢Ｂ∧Ｄ)∨￢Ｃ∨￢Ｄといった具合にである。 図38連言∨選言トートロジー（回路）２ 　(Ａ∨Ｃ)≡((Ａ∧￢Ｃ)∨Ｃ)を用いれば証明は簡単

連言∨選言トートロジー／命題変数が３つの場合

連言∨選言トートロジー（回路）　ドモルガンの法則の章で出てきた図35のような回路図・論理式を、”連言∨選言トートロジー（回路）“と呼ぶことにする。これらは先（図34）のＸを求める場合にも有効である。 図35　連言∨選言トートロジー（回路） 大事なのはＡ、Ｂそれぞれ連言部分と選言部分がお互いの否定になっていることである。だから(￢Ａ∧Ｂ)∨Ａ∨￢Ｂでも良いし、(Ａ∧￢Ｂ)∨￢Ａ∨Ｂでも同様にトートロジー回路となる。 　そしてここでＡ、ＢのみでなくＣやＤが加わっても同様にト

仮定・前提からいかなる論理式が導かれうるかという問いへ

　先の章（11．→とはいったい何なのか）において、電流学における証明の一つとして、 前提と結論を→でつなげるとトートロジー回路になることが示される ・・・を挙げた。既にここまで各種公理に関して、回路分析により論理式全体がトートロジーとなることを示してきた。そしてその逆も真であれば前提（となる論理式）と結論（となる論理式）は同値ということになる。 　 　しかしここではちょっと方向性を変えてみよう。 （前提・仮定）→（結論） において前提・仮定のみが既知のとき、（回路全体

演繹定理とドモルガンの法則

　演繹定理とは以下のようなものである。 Γは論理式の集合、Ａ、Ｃは論理式、Γ, Ａ⊢Ｃとは、ΓとＡを前提として（ΓとＡを仮定して）Ｃが演繹可能、という意味である。 　電流学ではより具体的に直接的（？）に、(Γ∧Ａ)→Ｃと表現する。既にＶ除去その他の説明においてそのように取り扱ってきた。そして実際、実質的に同じことであるように思える（ひょっとして同じにならない場面があるのかもしれないが、少なくとも電流学においては考慮する必要がなさそうである）。 　ここではＶ除去の公理を題材に