トートロジーのからくり？の一つ

これまでの内容については、
電流が流れるか流れないか学（電流学）｜カピ哲！｜note
をご覧ください。

　以下の前原の証明について、これを回路分析的に考えてみよう。

　（前原昭二著『記号論理入門』日本評論社、46ページ）

・・・これは(Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ)という前提からどんな命題を導けるのかという問いでもある。(Ａ∧￢Ｂ)からはＡと￢Ｂが導かれ（∧除去）、それぞれが（Ａ→Ｂ）とどのように影響しあうのかを見ていくのである。

(Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ) は、
Ａ∧￢Ｂ∧(￢Ａ∨Ｂ) と変形できる。これを図45のように回路図で示せば、これが矛盾回路であることがよく分かる。

図45Ａ∧￢Ｂ∧(￢Ａ∨Ｂ)は矛盾回路

　つまり((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→Ｘ のＸが何であろうとこの複合命題は常にトートロジーであることが示される。仮にＸを（前原氏に倣って）⋏とすれば

((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→⋏
（※ ここでは⋏は何らかの矛盾回路として取り扱う。たとえばＡ∧￢ＡとかＤ∧￢Ｄなど。）

・・・となる。⋏はＣでもＤでもＣ→Ｄでも全体としてはトートロジーとなるのだが、ここではとりあえず⋏を選択しておく。
　さらに演繹定理を用いれば以下のように変形できる。

((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→⋏
(Ａ∧￢Ｂ∧(Ａ→Ｂ))→⋏
(￢Ｂ∧(Ａ→Ｂ))→(Ａ→⋏)
(￢Ｂ∧(Ａ→Ｂ))→(￢Ａ∨⋏)
⋏は（並列に繋がれた）矛盾回路なので除去可能である。つまり
(￢Ｂ∧(Ａ→Ｂ))→￢Ａ
となり、さらに演繹定理により、
(Ａ→Ｂ)→(￢Ｂ→￢Ａ)
となる。

　((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→⋏ からは別のトートロジーも導ける。以下の証明について考えてみよう。　

（前原、前掲書、169ページ）

　この証明も、一つの式で示せば以下のようになる。

((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→⋏

これをさきほどと同じ要領で変形していく。

((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→⋏
(Ａ∧￢Ｂ)→((Ａ→Ｂ)→⋏)
(Ａ∧￢Ｂ)→(￢(Ａ→Ｂ)∨⋏)
⋏は並列に繋がれた矛盾回路であるから除去し、
(Ａ∧￢Ｂ)→￢(Ａ→Ｂ)
というトートロジーが結果として導ける。

　さきほど、⋏のかわりにＣでもＤでもＣ→Ｄでもなんでも良い（回路全体としてはトートロジーとなる）と述べたが、それらも結局は⋏から任意の命題を導くことができるEx falso quodibetにより証明されてしまう。

((Ａ∧￢Ｂ)∧(Ａ→Ｂ))→Ｃ
(Ａ→Ｂ)→((Ａ∧￢Ｂ)→Ｃ)
(Ａ∧￢Ｂ)→((Ａ→Ｂ)→Ｃ)

これら皆、証明可能ということである。
　とりあえずＸ→Ｙ（Ｘ、Ｙは複合回路でも良い）の前件が矛盾回路であれば、Ｘ→Ｙというトートロジーは常に証明可能ということになるのである。そしてそこから演繹定理で導かれた命題も証明可能なトートロジーということになる。