抽象的な理論を学習するときに、定理の証明の様子を具体的に見れるとgood

2023年8月24日 22:13

数学の抽象的な理論を理解するときに、定理の証明が複雑になったり、表している表現が理解しにくいときがあったりします。

そんなときに、程よく様子を観察できる具体例を知っていると、理解の手助けになります。

以前に投稿したnote記事です。

この記事は、線形代数学で扱われる行列式の計算について、３行３列の正方行列や４行４列の正方行列を使い、成分を扱いやすそうな整数として具体的に計算方法を説明したものになります。

行列式論の証明は、一般の n 次の内容について、n 次の対称群が絡み、証明を理解するのが大変です。

具体的に３次や４次を頑張る

もちろん、２次の正方行列で、具体的に状況を表せている内容のものは、２次を観察しつつ、一般の n 次での理解へと進むと良いかと思います。

ただ、２次だと、小さ過ぎて、定理の内容に関連する様子を具体的に観察できないときもあります。

そうなってくると、３次や４次の出番となります。

n 次正方行列 $${A=(a_{ij})}$$ の行列式の定義を見てみます。

$$
|A|=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
$$

このように、行列式論を学習しようとすると、行列式の定義の段階から、初学者には気持ちが折れそうになるほどの複雑さです。

２次のときでも、参考になることは多いと思います。しかし、もの足りないというときもあるかもしれません。

そんなときに、３次や４次で観察をします。

行列式の定義だと、対称群の一つの元について、一つの項が出現することになります。

そのため、対称群の元の個数分の項が出現することになります。

対称群の元の個数は、異なる n 個のものを並び替える操作ということで、n! 個の元が含まれています。

２次だと、2! = 2 個の元です。

２個なので、具体的に扱いやすいです。

そのため、２次のときで様子を調べると、内容を理解する良い手助けになります。

しかし、例えば、ファンデルモンドの行列式を２次のときに見てみると、なんだかもの足りないと思うかもしれません。

小さ過ぎて、十分に観察した感じがしない、、、

そんなときに、３次で。

３次だと、
$${3!=3\times 2\times 1=6}$$ 個の元が、３次対称群に含まれています。

この記事では、３次と４次の対称群の元を具体的に書き出しています。

6 個の項を具体的に書き出して見ると、結構な観察ができます。

４次だと、 24 個の元なので、大変ですが、気合を入れて、ここぞというときに書き出すと、理解の助けになってくれます。

$${sgn(\sigma)}$$ の部分を符号といって、偶置換だと値が 1 で、奇置換だと値は－1 となります。

この符号があるために、なかなか具体的に行列式を書き出すのが大変です。

そこで、３次や４次の対称群の元を、すべて書き出しておくと、偶置換なのか奇置換なのかを見分けて、行列式を具体的に計算することができます。

抽象的な行列式論を学習し始めるときに、6 個や 24 個を書き出して見ると、良い観察データとなってくれます。

この具体的な観察を足掛かりにすると、結構な基礎理論の理解の助けになるかと思います。